2.Элементы дифференциального исчисления

1. Производная

Пусть по городу движется машина со скоростью 60 км/ч. Эта скорость показана на спидометре. Но что означает это показание? Как известно, скорость равна отношению пройденного расстояния к затраченному времени, . Но это не значит, что за 1 час машина действительно проедет 60 км. Возможно, через 10 минут машина приедет в нужное место и остановится. Можно сказать, что 60 км/ч = 1 км/мин, но даже за 1 минуту машина не проедет 1 км, так как впереди горит светофор красным светом, и через полминуты машина остановится. В таком случае можно сказать, что 1 км/мин = м/с, и это достаточно хорошо отражает смысл показания спидометра. Но это верно только в том случае, если машина движется равномерно. Если же машина начала торможение и в какой-то момент на спидометре появилось показание 30 км/ч, то это не значит, что машина за секунду проедет м: в конце этой секунды скорость будет меньше, и пройденное расстояние окажется меньше. В этом случае можно рассматривать промежуток времени в 0,1 с. Значение скорости для этого промежутка также окажется искаженным, но менее значительно. Чем меньше мы возьмем длину временного промежутка ∆t, тем меньше будет искажение. Взять самый маленький промежуток, чтобы получить точное значение скорости, мы не можем: такого просто не существует, его можно уменьшать неограниченно. Но существует математический аппарат, позволяющий получить точное значение скорости, это теория пределов. Пусть пройденное расстояние s есть функция от времени t, то есть s = s(t). Тогда расстояние, пройденное за промежуток времени ∆t начиная с момента t₀, равно s(t₀+∆t) – s(t₀). Мы имеем формулу

v = . (1)

Этой формуле соответствует показание скорости на спидометре машины в момент времени t₀. Это так называемая мгновенная скорость. В отличие от нее формула показывает среднюю скорость на отрезке s или за промежуток времени t. В формуле (1) скорость вычисляется в момент времени t₀. А так как этот момент можно выбрать произвольно, то вместо t₀ можно взять просто t, и получим формулу для мгновенной скорости в произвольный момент t:

v = . (2)

Формула (2) подводит нас к определению производной для произвольной функции f(x):

. (3)

Р ассмотренный выше пример раскрывает физический смысл производной: если функция выражает пройденное расстояние в зависимости от времени, то ее производная – это скорость. Поясним геометрический смысл производной. На рисунке отмечены значения аргумента x₀ и x₀+∆x с заданным приращением аргумента ∆x. Соответствующие значения функции y₀ = f(x₀) и f(x₀+∆x), приращение функции ∆y = f(x₀+∆x) – f(x₀). На графике функции соответствующие точки обозначены А и В, приращение аргумента ∆x равно длине катета АС, а приращение функции ∆y – длине катета ВС в прямоугольном треугольнике АВС. Тогда отношение ∆x/∆y равно тангенсу угла, образованного секущей АВ с положительным направлением оси абсцисс. Это отношение стоит под знаком предела в формуле (3). Если уменьшить значение ∆x, на рисунке перейти от секущей АВ к секущей AD, то эта секущая ближе расположена к касательной в точке А. Если же уменьшать ∆x неограниченно, то в пределе секущая сольется с касательной. Поэтому значение производной в точке x₀ – это тангенс угла наклона касательной в этой точке, называемый угловым коэффициентом касательной. При этом определяется и знак углового коэффициента: отрицательный знак соответствует тупому углу наклона секущей к положительному направлению оси абсцисс.

Пример 1.2.1. Пользуясь формулой (3), вычислить .

Решение. Пользуясь формулой «разность синусов», получаем

= = =

= = = cos x.

Аналогично можно найти производные от других основных элементарных функций и составить таблицу производных:

1. = 0, где с – константа.

2. .

3. ; .

4. ; .

5. = cos x.

6. = –sin x.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой, а также гладкой.

Для вычисления производных от различных функций пользуемся следующими правилами дифференцирования:

1. .

2. , где с – константа.

3. .

4. .

5. .

В последнем правиле дифференцирования сложной функции множитель понимается следующим образом. Берется производная и вместо х в него подставляется g(x). Как частный случай из него получаем следующее правило:

6. .

Пример 1.2.2. Продифференцировать следующие функции: а) x²sinx; б) ; в) .

Решение.

а) = = 2x sin x + x² cos x$

б) = = = ;

в) = = = = .

Производную можно использовать при вычислении пределов, когда имеет место неопределенность вида или . Здесь используется:

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть

.

Пример 1.2.2. Найти предел .

Решение. = = = = 1.

Производная характеризует характер монотонности функции. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и производная > 0 в интервале (a, b), то на отрезке [a, b] функция строго возрастает. Если же <0 в интервале (a, b), то на отрезке [a, b] функция строго убывает.

Производная используется при нахождении экстремумов функций. Для этого находим производную функции. В точках экстремума производная равна 0 или не определена. Находим все нули и точки разрыва производной, это будут точки, подозрительные на экстремум. Если слева и справа от критической точки производная имеет противоположные знаки, то имеем точку экстремума.