- •Математический анализ
- •1.Пределы
- •2.Элементы дифференциального исчисления
- •1. Производная
- •2. Дифференциал
- •3. Производные высших порядков
- •4. Исследование функций
- •3.Элементы интегрального исчисления
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Определенный интеграл
- •4.Функции нескольких переменных
- •1. Частные производные
- •2. Кратные интегралы
- •6.Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
Математический анализ
1.Пределы
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность (a1, a2, … , an, …). Сокращенно ее можно обозначить или просто (an). Попытаемся сформулировать определение предела последовательности. В качестве примера рассмотрим три последовательности:
1, 2, 3, … , n, … (1)
1, , , … , , … (2)
1, –1, 1, –1, … , (–1)n+1, … (3)
На интуитивном уровне понятно, что первая последовательность не имеет предела, вторая имеет пределом число 0. Последнее проявляется в том, что члены последовательности (2) с увеличением номера n все ближе подбираются к 0. Но к числу –1 они тоже становятся все ближе. Принципиальная разница в том, что к 0 они могут подойти как угодно близко, а расстояние до –1 не может стать меньше 1. Оборот «как угодно близко» означает, например, что расстояние от an до 0 можно сделать меньше 0,1, если взять n > 10, или меньше 0,001, если взять n > 1000; и вообще, какое бы малое положительное число ни взять, найдется такой номер N, после которого все члены последовательности будут отстоять от 0 ближе, чем на .
Мы подошли к точному определению предела последовательности.
Число а называется пределом последовательности (an) (записывается = а, читается «предел an при n, стремящемся к бесконечности, равен а»), если для любого положительного числа найдется такое число N, зависящее от , что an – а < при всех n > N.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся.
В соответствии с определением предела заключаем, что последовательности (2) и (3) предела не имеют. Но их поведение различное. Члены последовательности (2) неограниченно возрастают, и в этом случае можно сказать, что = . Члены последовательности (3) концентрируются около двух точек 1 и –1. Эти точки называются предельными точками последовательности.
Условие = а можно сформулировать равносильным образом: an → а при n → .
При вычислении пределов используются их основные свойства:
;
;
;
.
При этом должны существовать все пределы в правых частях этих равенств.
Для вычисления предела последовательности определяющими являются понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин: это соответственно последовательности, стремящиеся к 0 и к бесконечности. Соотношение между ними такое: если an → 0, то → , и an → , то → 0. При этом в числителе может стоять любое число, не равное 0. Условно эти соотношения записывают в виде , . С их помощью можно найти простые пределы, например, .
Более сложные случаи – неопределенности вида . При вычислении соответствующих пределов от таких неопределенностей следует избавляться, как показано в следующих примерах.
Пример 1.1.1. Вычислить пределы: а) ; б) .
Решение. а) = = =
= = ;
б) = = = .
При вычислении этих пределов мы пользовались свойствами, сформулированными выше. Во втором примере опущены подробности.
Рассмотрим теперь понятие предела функции. На рис.1 показаны различные случаи расположения графика функции y = f(x). Нас интересует поведение функции y, когда переменная х стремится к а. На рисунках а) и б) видно, что при этом значения y стремятся к b, причем на рисунке а) это и есть f(а), а на рисунке с) значение f(а) = с отличается от b. Но в обоих этих случаях мы говорим, что = b. Понятно, что на рисунках в) и г) не существует.
В чем же проявляется тот факт, что = b на рис. а) и b)? В том, что значения f(x) можно сделать как угодно близкими к b, если значения х сделать достаточно близкими к а. Точный смысл оборота «как угодно близкими» в том, что какое бы малое значение ни задать, значение f(x) – b можно сделать меньше , выбрав подходящим образом область значений для х. Условие f(x) – b< равносильно двойному неравенству b – < f(x) < b + , то есть f(x) принадлежит интервалу (b – , b + ). Такой интервал называется -окрестностью точки b: эта точка является центром интервала, задает его ширину. Выбранная область значений для х также должна представлять собой некую -окрестность точки а, то есть для ее задания нужно подобрать подходящее значение . Связь между и проиллюстрирована на рис.2. -окрестность точки b выделена на оси ординат скобкой, определенная для нее -окрестность точки а выделена на оси ординат жирной линией. Значения аргумента х из -окрестности точки а расположены между двумя крайними штриховыми линиями на оси абсцисс, соответствующие значения функции расположены между двумя крайними штриховыми линиями на оси ординат, – все они попали в -окрестность точки b. При этом значение можно было выбрать меньше или даже чуть больше представленного, это не принципиально; важно, что такое значение существует.
Мы подошли к точному определению предела функции.
Число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого положительного числа найдется такое число , зависящее от , что f(x) – b< при x – а< .
На рис. 1с) предел в точке а не существует: если взять < c – b, то в -окрестность точки b не попадут значения f(x), когда х > a: значения f(x) будут больше с и вылезут за пределы -окрестность точки b. Значит, подходящую -окрестность точки а подобрать невозможно, и b не может быть пределом функции. Аналогично с не может быть пределом функции. В этом случае можно говорить об односторонних пределах функции f(x) в точке а: левый предел равен b, правый – с.
Рассматривается также предел , а также отдельно и (точные определения опускаем).
При вычислении пределов функции используются такие же свойства, как для пределов последовательности.
Самый простой случай вычисления предела функции имеет место, если допускается непосредственная подстановка.
Пример 1.1.2. = = .
Если же в результате подстановки получается неопределенность вида , или , или другая, то применяются специальные приемы для снятия этих неопределенностей. С неопределенностью вида поступаем обычно как при вычислении пределов последовательностей. Рассмотрим приемы снятия неопределенности вида .
Пример 1.1.3. Вычислить .
Решение. При непосредственной подстановке получаем неопределенность вида . В числителе и знаменателе дроби стоят многочлены. Число 2 является корнем каждого из них. Это значит, что каждый многочлен разлагается в произведение двух множителей, один из которых равен (х – 2). Имеем
= = = = –1.
Здесь мы произвели сокращение на (х – 2). Это не есть сокращение на 0, так как это выражение равно 0 только при х = 2, а мы анализируем значения функции вблизи точки 2, в самой этой точке значение не рассматривается.
Пример 1.1.3. Вычислить .
Решение. При непосредственной подстановке получаем неопределенность вида . В знаменателе дроби многочлен, у него выделяется множитель (х – 1). Чтобы поступить подходящим образом с числителем, преобразуем его в многочлен, домножив на сопряженное выражение:
= = = = = = = .
При снятии неопределенности вида , когда присутствуют тригонометрические выражения, может использоваться первый замечательный предел:
= 1.
Пример 1.1.4. = = = .
При снятии неопределенности вида обычно используется второй замечательный предел:
= e,
или
= e.
Пример 1.1.5. = = = е-10.
Здесь приведены самые элементарные приемы вычисления пределов. Другие способы используют, например, понятие эквивалентного выражения, правило Лопиталя.
С понятием предела тесно связано понятие непрерывности.
Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если = f(а). Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Точка, в которой функция не является непрерывной, есть точка разрыва функции при условии, что функция определена в некоторых промежутках, примыкающих к этой точке слева и справа. В самой точке разрыва функция может быть и не определена. На рис.1 б), в) и г) точка а является точкой разрыва. При этом на рис.1 б) существует , но он не равен f(а). На рис.1 в) существуют левый и правый пределы, не равные друг другу. На рис.1 г) не существует. Это различные виды разрывов, но бывают и более сложные разрывы.
Функция называется кусочно непрерывной, если ее область определения разбивается на несколько (конечное число) промежутков, в каждом из которых функция непрерывна. Такой же смысл имеют другие кусочные свойства, которые будут использоваться ниже.
У п р а ж н е н и я
1.1.1. Вычислить пределы:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.