4.Функции нескольких переменных

1. Частные производные

Для успешного функционирования экономики требуется уметь решать задачи оптимизации, например, получить максимальную прибыль, или сделать минимальными затраты. И прибыль, и затраты зависят от многих факторов. Например, если предприятие производит различные виды продукции, то учитываются затраты на производство каждого вида продукции и прибыль от их реализации. Если запланировать производство n видов продукции в количестве x₁, … , x_n соответственно, то ожидаемая прибыль будет функцией от переменных x₁, … , x_n, то есть будет иметь вид y = f(x₁, … , x_n). Исходя из имеющихся ресурсов, требуется задать значения x₁, … , x_n так, чтобы сделать значение функции максимальным.

Эта задача родственна задаче нахождения максимума функции одной переменной и решается аналогичными средствами, также с использованием производной. Но здесь переменных несколько, и надо уметь находить производную по каждой из них в отдельности. При этом остальные переменные рассматриваются как константы. Такая производная называется частной производной. Частная производная функции y по переменной x_i обозначается или .

Пример 1.4.1. Найти частные производные функции z = e^xy + x² – xy³.

Решение.

;

.

Для функции от одной переменной важным было понятие дифференциала. Для функции нескольких переменных его обобщение – это полный дифференциал. Для функции z = f(x₁, … , x_n) он определяется формулой

.

Здесь дифференциалы аргументов совпадают с их приращениями, а дифференциал функции – это главная часть ее приращения. Наглядный смысл этого можно проиллюстрировать на примере функции двух переменных. Она задает некоторую поверхность в пространстве. Если частные производные в некоторой точке существуют, то в этой точке поверхность гладкая, и у нее есть касательная плоскость, вблизи точки касания мало отличающаяся от поверхности. Полный дифференциал – это приращение, которое имела бы функция, если ее заменить касательной плоскостью.

Частные производные второго порядка можно рассматривать по одной или разным переменным. Соответствующие обозначения приведем на примере функции двух переменных z = f(x, y). Ее вторые производные

, , , .

Сначала берется производная по переменной, записанной первой. Но оказывается, вторые производные по разным переменным равны, если непрерывны, то есть .

Пример 1.4.2. Найти вторые частные производные функции из примера 1 z = e^xy + x² – xy³.

Решение. Воспользовавшись решением примера 1, получаем

;

;

;

.

Производную можно было не считать.

Решение задачи нахождения экстремума функции нескольких переменных основано на том, что если в точке экстремума существуют частные производные, то они равны 0. Поэтому для решения этой задачи мы находим частные производные по всем переменным, приравниваем их к 0 и решаем получившуюся систему уравнений. Будут ли в полученных точках экстремумы, а также их вид, определяется дополнительным исследованием. Следует также анализировать случаи, когда частная производная не определена.