Модуль 4.

Элементы математической логики

Тема 8: «Высказывания и логические операции над ними»

Цели изучения темы.

1. Введение математических понятий высказывания, логических операций конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквиваленции, разделительной дизъюнкции высказываний, определений формулы и функции логики высказываний.

2. Формирование навыка указания порядка выполнения операций, умений доказывать основные законы логики высказываний.

3. Введение перечня наиболее важных равносильностей, выражающих основные свойства логических операций.

План:

1. Понятие о высказывании. Примеры.

2. Операции над высказываниями. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, разделительная дизъюнкция высказываний, основные свойства этих операций. Примеры.

3. Формулы и функции логики высказываний.

4. Равносильность формул. Основные законы логики высказываний.

5. Элементы математической логики в начальном курсе математики (отбор математического содержания, использование).

При составлении текста лекции использован авторский материал курса лекций по математике, читаемых в течение ряда лет на факультете искусств, социальных и гуманитарных наук, а также ряд учебных пособий для студентов физико-математических специальностей. Текст адаптирован для студентов гуманитарных специальностей, в том числе для студентов факультета искусств, социальных и гуманитарных наук.

Основная литература, рекомендуемая студентам по изучению данного модуля учебной программы:

1. Стойлова, Л. П. Математика / Л. П. Стойлова.- М.: Изд. центр «Академия», 2007. – 432 с.

2. Электронный ресурс. Электронный вариант лекций «Высказывания и логические операции над ними», «Элементы математической логики» (методический кабинет, Moodle)

Логика высказываний

Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель (4 в. до н.э.)

Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств выдвигалась еще в XVII в. Г. Лейбницем. (Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 - 1716), немецкий математик, философ, физик, юрист, историк, языковед).

Но только в середине XIX в. появились научные работы по алгебраизации Аристотелевой логики Джорджа Буля (1847) в связи с выходом труда «Исследование законов мысли» и Августа де Моргана (1858).

(Дж. Буль (1815-1864) – английский математик, сын сапожного мастера. Самоучка, всецело отдавший себя математике. Младшая дочь – Этель - Лилиан, в замужестве Войнич, прославилась как автор романа «Овод» о борьбе карбонариев за независимость Италии.

Август де Морган (1806-1871) родился в Индии, в семье полковника английских войск, получил образование в Кембриджском университете.)

Математическая логика – раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

Математическая логика является теоретической основой кибернетики и связана с различными областями человеческой деятельности, где необходимы логические рассуждения (экономика, педагогика, психология, социология, философия, политика и т.д.).

Понятие о высказывании. Примеры.

Под высказыванием будем понимать всякое простое повествовательное предложение, про которое всегда определенно можно сказать, является ли оно истинным или ложным.

Примеры.

«11- простое число», «9 – простое число», «9 делится на 5», «Все квадраты являются прямоугольниками», «Каждый равносторонний треугольник является равнобедренным», «Автором сказки «Конек – Горбунок» является П.П. Ершов», «А.С.Пушкин является автором произведения «Сказка о Царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной Царевне Лебеди».

Вопросительные и восклицательные предложения, а также предложения, выражающие приказание, сожаление, не являются высказываниями. Предложения, имеющие субъективные оценки каких-либо фактов также не являются высказываниями.

Привести примеры.

В практической деятельности часто встречаются утверждения, истинность которых не может быть установлена объективно и однозначно. Эти утверждения типа «хорошая погода», «справедливый закон» и т.п., могут рассматриваться как высказывания только в том случае, если четко определена истинность исходных, простых высказываний, а данное высказывание является свернутой формой простых и известен контекст, в рамках которого проводится исследование. Так, например, суждению «сейчас на море хорошая погода» может быть приписана различная истинность в зависимости от того, идет ли речь о рыбной ловле, катании на парусной лодке, серфинге, купании и т.д.

Вообще для «чистоты эксперимента» в классической математической логике абстрагируются от содержания высказываний.

Высказывания бытвают:

1. простые (элементарные, атомарные);

2. составные – составленные комбинации из простых высказываний посредством логических связок.

Операции над высказываниями. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, разделительная дизъюнкция высказываний, основные свойства этих операций. Примеры.

Составные высказывания образуются из элементарных посредством логических связок (союзов) (пропозициональных связок).

Примеры связок: «не…», «…и…», «…или…», «если…,то…», «…тогда и только тогда, когда…» и пр.

Высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, и т.д.

Определение 1. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, образованное из данного с помощью логической связки «не …» («неверно, что…»), и принимающее ложное значение, когда А истинно и наоборот.

Обозначение. Примеры.

Определение отрицания записывается также в виде таблицы, которую называют таблицей истинности отрицания.

Таблица истинности.

Определение 2. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, образованное из двух данных с помощью логической связки «…и…» и принимающее значение И т. и т.т.к. И оба высказывания.

Обозначение. Примеры. Двойное неравенство 9 < 11< 15.

Таблица истинности.

Определение 3. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, образованное из двух данных с помощью логической связки «…или…» и принимающее значение Л т. и т.т.к. Л оба высказывания.

Обозначение. Примеры. Нестрогое неравенство 3 ≤ 3.

Таблица истинности.

Самостоятельно разобрать логику неравенства а ≤ b ≤ с.

Определение 4. Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание, образованное из двух данных с помощью логической связки «если…,то…» и принимающее значение Л т. и т.т.к. первое высказывание, стоящее после слова «если» -И, а второе, стоящее после слова «то» - Л.

Обозначение. Примеры. Привести примеры, отличающие импликацию от отношения следования.

Таблица истинности.

Определение 5. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, образованное из двух данных с помощью логической связки «…тогда и только тогда, когда…» и принимающее значение И т. и т. т. к. оба высказывания принимают одно и то же значение.

Обозначение. Примеры.

Таблица истинности.

Определение 6. Разделительной дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, образованное из двух данных с помощью логической связки «…либо либо…» и принимающее значение И т. и т. т. к. оба высказывания принимают различные значения.

Обозначение. Примеры.

Таблица истинности.