Интеграл

Начальные сведения об интеграле вводится в 11 классе. Понятие опр-ого интеграла рассматривается и вводится как альтернатива подходу к задачам вычисления площади криволинейной трапеции. Введение понятия опр-ого интеграла осущ-ся на наглядно – интуитивной основе из геом-их соображений с привлечением формулы прямоугольников для вычисления криволинейного интеграла. Роль этой темы – интегральное исчисление делает школьный курс математики логически стройным, а также шире и глубже раскрывает значение математики для изучения других наук, способствует формированию у учащихся диалектико – материалистического мировоззрения, облегчает изучение физики и геометрии. Интегральное исчисление повышает научный уровень всего курса, помогает привести его к возможности в соответствии с современным состоянием науки, повышает математический уровень учащихся. Целью явл-ся познать учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифф-ию, показать применение интеграла к решению геом-их задач. В учебно – методической литер-ре рассматриваются 2 основных способа построения интеграла: 1) на основе решения конкретных задач вводится понятие интегральной суммы и опр-ого интеграла, рассматриваются некоторые его св-ва и теорема существования. Затем доказываются, что производная опр-ого интеграла с переменным верхним пределом равна значению подинтегральной ф-ии от верхнего предела, вводится понятие первообразной, неопр-ого интеграла и получают формулу Ньютона – Лейбница для вычисления опр-ого интеграла. Заканчивают изложение применением интегрального исчисления к решению задач; 2) сначала вводится понятие первообразной ф-ии, неопр-ого интеграла, изучабтся его св-ва и теорема чущ-ия без док-ва, устанавоивается связь первообразной с площадью, вводится понятие опр-ого интеграла, либо как предел интегральных сумм, либо как приращение первообразной. В конце следует применение интеграла.

Перед изучением темы в 11 классе необходимо повторить предел ф-ии, непрерывность и производную, физический и геом-ий смысл производной. Целесообразно обратиться к таблице, в которой записаны ф-ии и их производные, чтобы воспользоваться ею для отыскания ф-ии, производная которой задана. Изучение новой темы можно начать с решения конкретных задач, в которой показывается, что произвольная постоянная имеет действительный смысл.

Интеграл (от лат. integer — целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного — функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x)+ С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый интеграл.

Определённый интеграл. Определённый интеграл функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность , где F(x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого интеграла.

Применение интегралов рассматривается при решении задач: на нахождение площади плоской фигуры, на вычисление пройденного пути за данный промежуток времени, на нахождение силы давления жидкости, работы переменной силы, на нахождение объемов тел.