4.12 Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского

Для вывода формулы касательных напряжений рассмотрим напряженное состояние в балке, представленной на рисунке (4.27).

2 1 P₂ P₁

z Q₂ y₀

а ) г) х

M₂ 3 3 M₁

2 dz 1 Q₁

dz

M +

–

б ) M₂ – ₂ ₁

M₁

₁

в ) д)

P₁ + P₂ Q P₁

+ + ₂

dz

–

Рисунок 4.27 – Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные ₁, ₂ и касательные ₁, ₂ напряжения, которые определяются по известным формулам (см. выражение 4.13):

₁ = Му/I_x, ₂ = (М + dM)y/I_x.

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению. В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке К поперечного сечения, расположенного на расстоянии у₀ от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (рис.4.27,г), и вынесем отсеченный элемент (рис.4.28). Будем определять напряжение, действующее по площадке АБСД.



В С

А Д ₂

₂ dz

b

Рисунок 4.28 – Отсеченный элемент

Спроецируем все силы на ось Z (рис. 4.29):

N₁

z

В dT С

А Д

A₀

dz

N₂ b

Рисунок 4.29 – Проекции сил

dT =b dz;

₂ dA₀ = dN =(M + dM)y/I_x dA₀;

N₂ = _А0 ₂ dA₀ = (M + dM)/I_x  _А0 y dA₀;

N₂ = (M + dM)/I_x S_x⁰,

где А₀ – площадь фасадной грани, S_x⁰ – статический момент отсеченной части относительно оси Х.

N₁ = _А0 ₁ dA = M/I_x S⁰.

Условие равновесия куска балки на длине dz примет вид:

N₂ – dT – N₁ = 0 или (M + dM)/I_x S_x⁰ –  b dz – M/I_xS_x⁰ = 0;

 = dMS_x⁰/I_xb dz, учитывая, что dM/dz = Q, имеем

 = Q S_x⁰/I_xb. (4.31)

Выражение (4.31) получило название формулы Д. И. Журавского. Эта формула получена в 1855 г. Здесь S_x⁰ – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I_x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение.