4.10 Моменты инерции для параллельных осей

Рассмотрим такой случай, когда необходимо определить моменты инерции относительно параллельных осей (рис.4.22).

y₁ y

x₁ dA

а y

x

O x



А b y₁

x₁

O₁

Рисунок 4.22 – К определению моментов инерции относительно параллельных осей

Рассмотрим сечение, у которого площадь А, центральные оси X и Y. На расстоянии y от оси Х и расстоянии x от оси Y выберем площадку dА.

Проведем параллельные оси Х₁ и Y₁ на расстоянии b и a от осей X и Y и определим моменты инерции относительно осей X₁, Y₁:

I_x1 = _A y₁² dA =_A ( y + b ) dA = _A y ²dA + 2b_A ydA + b² _A dA.

Выражение

_А y dA – статический момент сечения относительно центральных осей, равный нулю

(см. выражение 4.8).

Тогда

J_x1 = J_x + b2A. (4.28)

Момент инерции относительно параллельной оси Х₁ равен моменту инерции сечения относительно собственной центральной оси Х плюс произведение b²А, где А – площадь сечения фигуры. Аналогично

Jy₁ = J_y + a²A. (4.29)

4.11 Моменты инерции сложных сечений

О пределим моменты инерции сечения, представленного на рисунке 4.23.

A₁ y

d

A₂

_max

x₂ y_2max

b₂ 

h x₁

y₂ x_c

y₁ b₁ y_1max

y_c

x

b

Рисунок 4.23 – Схема для определения момента инерции сложного сечения

Разбиваем сложное сечение на две фигуры: прямоугольник, с площадью поперечного сечения А₁, и круг, с площадью сечения А₂. Определим центр тяжести сечения относительно произвольной оси Х. Положение оси Х_с:

Х_с = (А₁у₁ + А₂у₂)/(А₁ + А₂). (4.30)

Положение оси Х_с определяет координата у_с. Затем определяем расстояние между осями простых фигур и центральной осью Х_с. Это величины b₁ и b₂. Пользуемся выражениями для параллельных осей(4.28) и (4.29):

I_xc = bh³/12 + b₁A₁ – (d⁴/64 + b²₂A₂),

I_xc = hb³/12 – d⁴/64.

Пример 4.4. Для сложного сечения, представленного на рисунке 4.24, определить моменты инерции сечения. Размеры в миллиметрах.

y_c

2

1

y_c2 = 10

y_от х₂

3 50

60 R40 ц.т

120  х_с

0 43 х_с3 =17

h₂

b₂ = 80

120

Рисунок 4.24 – Сложное сечение

Определяем центры тяжести фигур 2 и3.

1) Для треугольника (2):

y_c2 = 1/3h = 1/33 = 1 см = 10 мм.

Для полукруга (3):

х_с3 = 0,424R = 0,42440 = 17 мм.

2) Покажем расстояние от центральных осей фигур (2) и (3) до главных центральных осей всего сечения.

3) Определяем главные центральные моменты инерции всего сечения. Обе главные оси проходят через центр тяжести сечения:

I_xc^нетто = 1212³/12 – 1/2(R)⁴/642 – (b₂h₂³/36 + 5²А₂)2,

где b₂h₂³/36 – момент инерции треугольника относительно оси Х₂, R – радиус окружности.

I_xc^нетто = 1212³/12 – 1/23,14(24)⁴/642 – (83³/36 + 5²1/283)2 = 915 см⁴,

I_yc^нетто = 1212³/12 – h₂b₂³/482 – [1/2(2R)⁴/64 + 4,3А₃]2,

где h₂b₂³/48 – момент инерции треугольника относительно оси Y_с, А₃ – площадь полукруга:

А₃ = R²/2;

I_yc^нетто = 1212³/12 – 38³/482 – [1/23,14(24)⁴/64 + 4,33,144²/2]2 = 864 см⁴.

Пример 4.5. Для заданного сечения, состоящего из двутавра и уголка, требуется:

1) определить положение центра тяжести;

2) найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести сечения;

3) определить направление главных центральных осей;

4) найти моменты инерции относительно главных центральных осей.

Дано: двутавр  22; равнобокий уголок 125^.125^.12.

Решение: из таблиц сортамента выпишем исходные данные:

двутавр  22:

А₁ = 30,6 см²,

J_x1 = 2550 см⁴, J_y1 = 157,0 см⁴;

уголок 125^.125^.12:

А₂ = 28,9 см²,

J_x2 = J_y2 = 422 см⁴,

J_x0 = 670 см⁴,

J_y = 174 см⁴.

Центробежный момент инерции уголка:

J_x2y2 = ( J_x0 – J_y ) sin 2 / 2 = (670 – 174 ) sin(– 2) / 2 = – 284 см⁴ ; т.к. sin(– 245) = – 1.

y₀ y₂ x₀

А₂

45

x₂

3 ,53

Рисунок 4.25 – Уголок равнобокий

2,33 y_c y₁ 1,2

y₀ 3,53

1,2

12,5 А₂

3,53

14,53 7,53

х₆

1,2

11

ц.т. 7,0 х_с

22,0

х₁

11,0 0,87 А₁

11,0

М 1: 2

Рисунок 4. 26 – Сложное сечение. Размеры указаны в сантиметрах

Определим центр тяжести сечения относительно Х₁, У₁:

А₁ + А₂ = 30,6 + 28,9 = 59,5 см²;

y_с = (А₁х₁ + А₂х₂)/(А_{1 +} А₂) = (0 + 28,914,53)/59,5 = 7 см;

x_с = (А₁у₁ + А₂у₂)/(А₁ + А₂) = (0 – 28,93,53)/59,5 = – 1,2 см.

Определим моменты инерции относительно центральных осей:

I_xc = I_x1 + b²₁A₁ + I_x2 + b²₂A₂ = 2550 + 7²30,6 + 422 + 7,53³28,9 = 6110 см⁴;

I_yc = I_y1 + a²₁A₁ + I_y2 + a²₂A₂ = 157 + 1,2²30,6 + 422 + 156,89 = 780 см⁴.

Центробежный момент инерции сечения:

I_xcyc = I⁽¹⁾_xcyc + a₁b₁A₁ + I⁽²⁾_xcyc + a₂b₂A₂ = 0 + 7(–1,2)30,6 – 248 + 7,53(–2,33)28,9 = – 1012 см⁴.

Определим положение главных осей:

tg2 = – 2 I_xcyc/(I_xc – I_yc ) = 21012/(6110 – 780) = 0,379;

2 = – arc tg 0,379; 2 = 22⁰;  = 11⁰.

Величины главных центральных осей инерции:

I _x0 = (I_xc + I_yc)/2 + 1/2 (I_xc + I_yc)² + 4 I²_xcyc = (6110 + 780)/2 + 1/2 (6110 – 780)² + 41012² =

= 3445 + 2850 = 6295 см⁴;

I _x0 = (I_xc + I_yc)/2 – 1/2 (I_xc + I_yc)² + 4 I²_xcyc = (6110 + 780)/2 – 1/2 (6110 – 780)² + 41012² =

= 3445 – 2850 = 595 см⁴.