4.8 Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения

1. Выполняется гипотеза плоских сечений.

2. Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4. Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Покажем, что деформация изменяется по линейному закону. Рассмотрим участок балки длиной dz, подвергающийся изгибу (рис. 4.14):

d

а в М М

н ейтр. 0 у 0 а^/  в^/

с лой c^/ d^/

с d

а ) б) У

dz

dz

Рисунок 4.14 – К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

cd = dz = 0^/0^/ ; 0^/0^/ =  dz.;

c ^/d^/ = ( + у)d – абсолютное удлинение ; l = c^/d^/ – cd = ( + у)d – d = уd;

 = l / dz = уd / d;

 = у /  . (4.6)

Из формулы (4.6) вытекает, что чем больше у, тем больше деформации.

По закону Гука имеем:  =   E или с учетом (4.6):

 = E  у / . (4.7)

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Определяем нормальные напряжения через внешние силовые факторы. Для этого рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии (рис.4.15).

М

у

М

А₂

х

dA



A₁ O у М

 х

М

Рисунок 4.15 – Схема для определения нормальных напряжений

Составим следующие уравнения равновесия:

1) Сумма проекций всех сил на оси y равна нулю.

Р_y=0 _АdA=0.

С учетом формулы (4.7) имеем:

E_АydA=0. (4.8)

Выражение _АydA = S_x называется статистическим моментом сечения. Его размерность см³, м³. Из формулы (4.8) следует, что нейтральная линия OX проходит через центр тяжести сечения и делит его на равные площади.

2) Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю.

P_x=0; _АdA = 0; _А1dF – _А2dF = 0;

A₁ = A₂ . (4.9)

3) Сумма моментов относительно оси Х равна нулю.

М_z = 0; _АхdA = 0.

С учетом (4.7)

Е/_Аху dA = 0. (4.10)

Выражение _Аху dA называют центробежным моментом инерции. Его размерность см⁴, м⁴. Из формулы (4.10) следует, что центробежный момент инерции равен нулю. Следовательно, оси X, Y являются главными центральными осями.

4) Сумма моментов относительно оси Х равна изгибающему моменту М.

М_х = М; _АуdA = M;

Е/_Ау²dA = M_х . (4.11)

Выражение

_Ау²dA (4.12)

получило название момента инерции сечения. Его размерность см⁴, м⁴. Имеем:

Е/I = M или Е/ = M / I, из (4,7) имеем:

Е/ = /у; /у = M/у или  = M/I_x у. (4.13)

По формуле (4.13) можно определить напряжение в любой точке по высоте сечения.

В случае изгиба, когда присутствует поперечная сила, сечения не будут плоскими. Они будут искривляться. На опытных данных показано, что искривления небольшие, поэтому применяют формулу чистого изгиба.

Отношение

I_x y_max = W_x (4.14)

называют моментом сопротивления. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Максимальные напряжения:

_max = M_max /W_x . (4.15)

Условия прочности при кручении:

_max = M_max / W_x <=[]. (4.16)

Для определения напряжений в любой точке необходимо уметь определять моменты инерции и моменты сопротивления любого сечения. Максимальный изгибающий момент, как правило, определяется по эпюре изгибающих моментов.