§ 3. Применение производной в экономике

3.1. Экономичеcкий смысл производной. Пусть функция выражает количество продукции , произведенной за время , и необходимо найти производительность труда в момент времени .

Очевидно, что за период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за период равна Производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до , при , то есть .

Значит, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент . В этом экономический смысл производной рассмотренной функции.

Пусть производственная функция – описывает издержки производства, в зависимости от количества производимой продукции .

Средние издержки при производстве единицы продукции равняются . Предельными издержками производства называется предел

.

Предельные издержки производства совпадают, таким образом, со скоростью изменения функции издержек производства. Величина характеризует затраты на производство единицы продукции, при объеме производства в единиц.

Пусть производственная функция устанавливает зависимость выпуска продукции от затрат ресурса Предельным продуктом называется предел Подумайте, каков экономический смысл данной предельной характеристики.

Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарные или средние величины), а изменение экономического объекта или процесса. То есть производная выступает как скорость изменения некоторой экономической переменной во времени или относительно другого исследуемого фактора (объема продукции, затрат ресурса и т.п.). Ее размерность и экономический смысл определяется размерностью и экономическим смыслом числителя и знаменателя

3.2 Эластичность функции. Во многих задачах экономики необходимо знать процент изменения функции, соответствующий проценту прироста аргумента. Если – процент изменения функции, а – процент прироста аргумента, то для дифференцируемой функции существует предел называемый эластичностью функции .

Отношение дает средний процент изменения функции, соответствующий проценту приращения аргумента. Поэтому эластичность функции представляет собой предельное значение среднего процента изменения функции при приращении аргумента на один процент. Эластичность показывает приближенно насколько процентов изменяется функция при изменении аргумента на один процент.

Если функция эластична, — функция неэластична.

Если — функция нейтральна.

Свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции , то есть

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций.

3. Если то

Пример1. Пусть функция устанавливает зависи­мость издержек производства от количества выпускаемой продукции. Найти средние издержки производства, предельные издержки и коэффициент эластичности издержек, если объем выпускаемой продукции составляет 100 ед..

► Средние издержки .

Предельные издержки

Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 15 ден. ед., то предельные издержки, затраты на производство единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции в количестве 100 ед.), составляют 10 ден. ед.

Эластичность издержек относительно количества выпускаемой продукции

.

Итак, если количество выпускаемой продукции увеличится на 1%, то при объеме выпуска, равном 100 ед. издержки производства увеличатся приближенно на 0,67% . ◄

Пример2. Опытным путем установлены функция спроса и функция предложения , где q и S– количество товара соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, р – цена товара. Найти: а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложения уравновешиваются и весь предлагаемый товар находит своего покупателя; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода при увеличении равновесной цены на 5 %.

► а) равновесная цена определяется из условия ; , откуда то есть равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичность спроса и предложения по формуле .

; ;

Для равновесной цены имеем

Полученные данные означают, что при увеличении цены на 1% спрос уменьшается на 0,3 %, а предложение увеличивается на 0,8%.

Так как полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше единицы, то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

б) Доход .

Приближенно изменение дохода, связанное с изменением цены, можно оценить с помощью эластичности дохода по цене.

Таким образом, . Эластичность показывает приближенное процентное изменение функции при изменении аргумента на один процент. Поскольку нужно найти изменение дохода при 5% изменении цены, достаточно умножить на пять найденную эластичность дохода. Получим 3,5%.

Оценим насколько отличается результат, полученный при использовании эластичности дохода, от действительного изменения дохода. Для этого найдем доход при новой цене, вычислив значение при . Поскольку , то при увеличениии цены на 5% получим . . Абсолютное изменение дохода равно . Относительное изменение дохода составит , что соответствует 3,4634%.

Таким образом, нетрудно заметить, что оценка изменения дохода с помощью эластичности дохода дает погрешность менее 0,04% ( 3,5% – 3,4634% = 0,0366% ).