Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chap_02.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2019
Размер:
1.78 Mб
Скачать

Г л а в а 2

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Производная

1.1. Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной. Рассмотрим некоторую функцию . Эта функция определена и непрерывна на множестве Следовательно, всякому значению аргумента соответствует значение функции . Если получит приращение , аргумент примет значение и соответственно изменится функция, приняв значение При этом приращение функции будет равно разности то есть Таким образом у всякой непрерывной функции приращение аргумента на сопровождается приращением функции на . При этом отношение дает величину среднего приращения функции при единичном приращении аргумента на интервале , то есть представляет собой среднюю скорость изменения функции на рассматриваемом интервале. Чем меньше тем в большей степени средняя скорость изменения функции соответствует истинной скорости изменения функции в точке . Предельное значение отношения при стремящемся к нулю, дает истинную скорость изменения функции в точке называемую производной функции . Обозначается

С геометрической точки зрения первая производная функции представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке дифференцирования.

Д ействительно, (рис. 2), где — угол наклона секущей к оси OX. При точка N приближается к точке М, стремясь с ней слиться, то есть секущая вырождается в касательную  а угол превращается при этом в угол Угол – угол наклона касательной к оси представляет собой предельное значение угла наклона секущей  , Таким образом, оказывается, что угловой коэффициент касательной равен . А поскольку то Итак, имеем

Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Производная от этой функции называется производной 2-го порядка от функции , . Аналогично определяется производная 3-го порядка. и т. д.

1.2. Таблица производных основных элементарных функций

1.

5.

2.

6.

3.

7.

3а.

8.

4.

9.

1.3. Правила дифференцирования функций

Пусть – постоянная и , –дифференцируемые функции, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Дифференцирование сложной функции. Если где то есть сложная функция от Рассматриваемая сложная функция представляет собой результат последовательного наложения на независимую переменную двух) функций – и . Чтобы получить у, нужно произвести над аргументом операции, соответствующие функции , а над полученным результатом – операции, предписываемые функцией .

Пусть функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке Тогда сложная функция имеет производную в точке х , равную (1)

Таким образом, чтобы найти производную сложной функции, достаточно перемножить производные функций, входящих в состав сложной функции.

Например, найдем производную функции .

Заданная функция является результатом наложения на аргумент двух функций – арксинуса и логарифма. Полагая и , имеем и, согласно (1), где и Отсюда получаем

7. Дифференцирование обратной функции. Пусть функция имеет обратную . Тогда производная обратной функции равна

(2)

Например, известно, что , нужно найти производную функции

– функция обратная заданной , поэтому, согласно (2), имеем .

8. Дифференцирование неявной функции. Выше было рассмотрено дифферен-цирование явных функций, заданных в виде Рассмотрим неявную функцию заданную уравнением Для нахождения производной , нужно продифференцировать обе части уравнения по x, рассматривая переменную как функцию от , а затем полученный результат разрешить относительно производной Например, найдем производную , если функциональная связь задана неявно уравнением и вычислим значение производной в точке Дифференцируя обе части уравнения, описывающего функциональную связь переменных и , и учитывая, что есть функция от , получим откуда Значение производной в точке получим, подставив в выражение производной

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что есть функция от , получим откуда

Рассмотрим некоторые задачи.

Пример1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке ( 2, 4 ).

 Касательная – это прямая, имеющая с графиком функции единственную общую точку и угловой коэффициент , следовательно, ее уравнение будет иметь вид

Найдем производную в точке : . Согласно геометрическому свойству производной, есть угловой коэффициент касательной, проведенный к заданной кривой в точке ( 2, 4 ).

Таким образом, имеем уравнение касательной или

Чтобы получить уравнение нормали, воспользуемся тем, что нормаль перпендикулярна касательной, значит произведение их угловых коэффициентов равно минус единице, то есть . А поскольку то . В условиях рассматриваемой задачи . Так как уравнение всякой прямой, проходящей через точку , имеет вид а нормаль – одна из этих прямых, то имеем ее уравнение или .◄

Пример2. На кривой найти точки, в которых касательная:

а) параллельна прямой

б) перпендикулярна к прямой

 Для отыскания требуемых точек принимаем во внимание тот факт, что угловой коэффициент касательной равняется значению производной функции в точке касания, то есть

а) из условия параллельности прямых следует, что угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой, то есть , откуда . Следовательно, касательная к кривой будет параллельна прямой если касательная проведена в точках

б) из условия перпендикулярности следует, что то есть откуда Значит в точках касательная к заданной кривой будет перпендикулярна прямой

Пример3. Спрос как функция цены описывается соотношением Выяснить, какова скорость изменения функции спроса при

 Скорость изменения функции в некоторой точке равна первой производной функции в этой точке. Следовательно, искомая величина представляет ни что иное, как . Скорость изменения функции спроса отрицательна. ( О чем говорит отрицательная скорость изменения функции? ) ◄

В №№ 38 - 57 вычислить производную и ее значение в точке .

38. 39.

40. 41.

42. 43.

44. 45.

46. 47.

48. 49.

50. 51.

52. 53.

54. 55.

56. 57.

В №№ 58 - 63 для заданных функций найти и .

58. 59. 60.

61. 62. 63.

В №№ 64 - 66 найти производную неявно заданной функции.

64. 65.

66. 67.

В №№ 68 - 73 написать уравнения касательной и нормали к графику функции точке .

68. 70.

72. 69.

71. 73.

74. Найти коэффициенты и в уравнении параболы , касающейся прямой в точке .

75. Показать, что касательные к гиперболе в точках ее пересечения с осями координат параллельны между собой.

76. Составить уравнение нормали к графику функции в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

77. Cоставить уравнение такой нормали к параболе , которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

78. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид

а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?

б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох?

в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?

79. Тело массой 4г движется прямолинейно по закону Определить кинетическую энергию тела в момент времени с.

80. В какой момент надо устранить действие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании , продолжала двигаться равномерно со скоростью

81. Радиус шара изменяется со скоростью . С какой скоростью изменяется объем и поверхность шара?

82. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время с. Найти угловую скорость в момент времени с после начала движения.

83. Скорость прямолинейного движения тела пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении тела). Доказать, что тело движется под действием постоянной силы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]