Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chap_05.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2019
Размер:
1.03 Mб
Скачать

Глава 5 функции нескольких переменных § 1. Понятие функции нескольких переменных

Понятие функции одной переменной не охватывает все существующие функциональные зависимости. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются набором из двух, трех и большего числа независимых переменных. Например, издержки производства при данной технологии производства определяются расходами на ресурсы, оборудование и т.п. и стоимостью труда. То есть издержки являются функцией материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из некоторого множества по какому - либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Обозначается или , где f и φ – символы функциональной зависимости.

Определение 2. Множество G упорядоченных пар значений , которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции z, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, называется областью значений функции z.

Определение 3. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает постоянное значение z = C, называется линией уровня.

Придавая С различные значения и каждый раз строя линию , получим семейство линий уровня. Это семейство наглядно описывает функцию . Данный способ представления функции двух переменных широко используется как в картографии и метеорологии, так и в экономике.

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малым изменениям значений x и y соответствует бесконечно малое изменение функции z .

Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области. График непрерывной функции представляет собой цельную, непрерывную поверхность без скачков и разрывов.

§ 2. Частные производные первого и второго порядка

Рассмотрим функцию . Пусть независимая переменная y зафиксирована и приняла постоянное значение , а х изменяется. Тогда , то есть функция двух переменных становится функцией одной независимой переменной x. Если функция непрерывна и дифференцируема, то существует производная функции по переменной х. Эта производная является частной производной от функции и обозначается символом или . Частная производная функции по представляет собой (аналогично функции одной переменной) скорость изменения функции при изменении переменной х и фиксированном значении аргумента у.

Определение 5. Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной называется производная по этой переменной, вычисленная при фиксированных значениях прочих переменных.

Предположим, что производные и можно найти в каждой точке области определения функции. Тогда частные производные сами являются функциями двух переменных, и могут быть также продифференцированы.

Определение 6. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка.

Производные второго порядка в общем случае также являются функциями двух переменных и их будет уже четыре. Для производных второго порядка приняты следующие обозначения:

– частная производная второго порядка по х дважды, находится последовательным двукратным дифференцированием по

– смешанная производная второго порядка, получается при последовательном дифференцировании сначала по х, а затем по y.;

– частная производная второго порядка по у дважды. Здесь функция последовательно двукратно дифференцируется по y;

– смешанная производная второго порядка. Функция сначала дифференцируется по y, а результат дифференцируется по x.

Поскольку при дифференцировании функции нескольких переменных она рассматривается, как функция одной переменной, то правила дифференцирования здесь те же, что и для функции одной переменной. Дифференцирование производится по одной из переменных, остальные переменные при этом фиксированы, то есть постоянны. Поэтому функция оказывается зависящей только от той переменной, по которой производится дифференцирование.

Например, найдем частные производные первого и второго порядка от функции

Последовательно находим: ,

,

,

Заметим, что , и это не случайность, а закономерность.

З а м е ч а н и е. Смешанные частные производные второго порядка и не зависят от порядка дифференцирования, то есть всегда .

Определение 7. Упорядоченная пара частных производных первого порядка называется градиентом функции двух переменных x и y и обозначается символом grad f (x,y) , то есть или

Градиент есть вектор скорости максимального изменения функции. Он показывает направление самого быстрого роста функции . Ясно, что в каждой точке области определения функции это – новый вектор и соответствующее ему значение скорости изменения функции.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]