Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chap_03.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2019
Размер:
827.9 Кб
Скачать

Глава 3 интегральное исчисление функции одной переменной

§ 1. Неопределенный интеграл.

Непосредственное интегрирование

1.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция называется первообразной функции , заданной на некотором множестве X, если для всех , а . Если – первообразная функции , то всякая где С – некоторая постоянная, также является первообразной . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом . Таким образом, согласно данному определению , где – одна из первообразных функции , а постоянная С принимает различные действительные значения.

1.2. Таблица основных неопределенных интегралов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

1.3. Cвойства неопределенного интеграла. Вытекают из определения интеграла следующие свойства (подумать почему):

1. 2.

3. 4.

5.

Первое свойство означает, что вычисление неопределенного интеграла состоит в приведении подынтегрального выражения к дифференциалу первообразной.

Свойство 4 позволяет выносить за знак интеграла постоянный множитель.

Приведение данного интеграла к сумме более простых интегралов (по свойству 5) называется интегрированием разложением. Применение свойств 4 и 5 часто позволяет представить заданный интеграл в виде суммы табличных интегралов.

Вычисление неопределенного интеграла с помощью таблицы оcновных интегралов, использования свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований подынтегрального выражения называется непосредственным интегрированием. Рассмотрим примеры непосредственного интегрирования.

П р и м е р 1. Вычислить

► Воспользовавшись свойством 5 разложения суммы, получим три интеграла:

П р и м е р 2. Вычислить

► После раскрытия скобок разобьем исходный интеграл на два табличных:

В задачах 169-193 провести вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования.

169. 170. 171. 172.

173. 174. 175. 176.

177. 178. 179.

180. 181. 182.

183. 184. 185.

186. 187. 188.

189. 190. 191.

192. 193.

§2. Инвариантность формул интегрирования.

Метод замены переменной

Формулы основной таблицы интегралов справедливы не только в том случае, когда х – независимая переменная, но и тогда, когда это некоторая функция . Это непосредственно следует из инвариантности дифференциала, его независимости от переменной дифференцирования. Действительно, пусть , тогда, согласно определению дифференциала, так как , как производная сложной функции, а . Итак, , независимо от характера переменной х. Но . Следовательно, любая формула таблицы основных интегралов справедлива и в случае х = х (t) . Область применения таблицы таким образом существенно расширяется.

П р и м е р 1. Вычислить

► Заданный интеграл относительно переменной интегрирования sinx представляет собой табличный интеграл . Действительно, переменная sinx стоит и в основании степенной функции и под знаком дифференциала, как х в табличном интеграле. Идентичность данного интеграла и табличного становится особенно очевидной, если обозначить sin x как u. При этом данный интеграл принимает вид . Поскольку , имеем , ◄

П р и м е р 2. Вычислить

. Этот интеграл также типа . Здесь в основании степенной функции и под дифференциалом одна и та же переменная, –tg x . Если обозначить то данный интеграл принимает вид . А поскольку, согласно 1.2.(1), , то, выполняя обратную подстановку , имеем окончательный результат . ◄

П р и м е р 3. Вычислить

► Поскольку , то

П р и м е р 4. Вычислить

► Если данный интеграл записать в форме , становится очевидным наличие степенной функции в подынтегральном выражении. Проявляет себя связь с табличным интегралом . А если данный интеграл удастся свести к виду , он будет абсолютно идентичен табличному. Заметим, что . Это значит, что Итак,

Замечание. Как правило, введение новой переменной интегрирования производится мысленно, без специальной записи, как это сделано в последнем примере, где новая переменная не записывалась как

В задачах 194-269 найти интегралы, используя инвариантность формул интегрирования.

194. 195. 196. 197.

198. 199. 200. 201.

202. 2021 2022 2023.

203. 204. 205. 206.

207. 208. 209. 210.

2101. 211. 212.

213. 214. 215.

216. 217. 2171.

218. 219. 220. 221.

222. 223. 224.

225. 226. 227. 228.

229. 230. 231. 232.

233. 234. 235. 236.

237. 238. 239. 2391.

240. 241. 242. 243.

244. 245. 246. 247.

248. 248. 249. 250.

251. 252. 253. 254.

255. 256. 257. 258.

259. 260. 261. 262.

263. 264. 265. 266.

267. 2671. 268.

269.

В задачах 270 - 279 найти интегралы, выделив целую часть из неправильной) подынтегральной дроби (см. примеры 5 и 6).

270. 271. 272. 273.

274. 275. 276. 277.

278. 279. 2791. 2792.

П р и м е р 5. Вычислить . ► И числитель и знаменатель дроби содержит переменную интегрирования в одной и той же степени. Поэтому из дроби можно выделить целую часть, дополнив числитель на 2 и сформировав таким образом в числителе сумму (х+2).

П р и м е р 6. Вычислить

► Преобразуем подынтегральную дробь . Будем рассматривать ее как сумму двух простейших дробей со знаменателями х и (х - 1). Чтобы получить разложение заданной дроби на простейшие, представим ее числитель в виде разности сомножителей знаменателя и затем, произведя почленное деление компонентов числителя на знаменатель, получим:

.

Итак, . Поэтому

П р и м е р 7. Вычислить .

► Если выделить в трехчлене полный квадрат двучлена, будем иметь сумму квадратов. Действительно, . Поэтому заданный интеграл принимает вид :

В задачах 280-296 вычислить интегралы, используя прием разложения подынтегральной дроби на сумму простейших дробей и прием выделения полного квадрата (см. примеры 6 и 7).

280. 281. 282. 283.

284. 285. 286. 287.

288. 289. 290. 291.

292. 293. 294.

295. 296. 2961.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]