Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Chap_04.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2019
Размер:
1.13 Mб
Скачать

Глава 4 обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Основные определения

Уравнения, содержащие производные или дифференциалы искомой функции, называют дифференциальными. Наивысший порядок производной или дифференциала неизвестной функции, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Решить дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения. Все множество решений дифференциального уравнения представлено в его общем решении, которое включает в себя столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, и является записью всего многообразия его решений.

Придавая произвольным постоянным конкретные численные значения, получим частные решения уравнения. Чтобы из общего решения выделить одно частное решение, необходимо, кроме дифференциального уравнения иметь так называемые начальные условия. Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши. График каждого частного решения представляет собой интегральную кривую уравнения, проходящую через точку, заданную начальными условиями.

§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть задано

– в общем виде ;

– в виде, разрешенном относительно производной, ;

– в дифференциалах P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0.

К основными типам интегрируемых дифференциальных уравнений первого порядка относятся:

– уравнения с разделенными переменными ;

– уравнения с разделяющимися переменными ;

– уравнения однородные относительно переменных ;

– линейные уравнения ;

– уравнения Бернулли.

2.1 Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделенными переменными – это простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида или , (1)

где – заданная функция. Множество решений уравнения (1) представляет собой неопределенный интеграл от функции :

где – какая-нибудь первообразная функции , а С – произвольная постоянная.

П р и м е р 1. Тело замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости . Найти зависимость скорости от времени , если ( 0 ) = 0,5 м / с , а ( 1 ) = 0,25 м / с . Какова будет скорость движения через 3 с после начала торможения ? В какой момент времени скорость будет равна 0,1 м/c ?

► Движение всякого материального тела массой m подчиняется второму закону Ньютона, согласно которому ускорение движения a прямо пропорционально результирующей сил, действующих на тело. В случае замедленного движения . По условию задачи на тело действует только сила торможения, пропорциональная квадрату скорости, то есть (здесь k – коэффициент пропорциональности). А поскольку ускорение (t), то имеем дифференциальное уравнение , описывающее заданную ситуацию, где k – коэффициент пропорциональности, m – масса тела. Это уравнение с разделенными переменными имеет решение: (1)

Для определения С и k / m воспользуемся тем что м/с , а м / с.

Получим, С , k / m . Следовательно, скорость движения изменяется по закону

(2)

Вычислим скорость точки через 3 с после начала торможения, подставив в (2)

[ м / с ] .

Момент времени, для которого скорость будет равна 0,1 м / с , определяется из уравнения (2) при м / с

Отсюда t = 4 с.

П р и м е р 2. Найти решение задачи Коши для и То есть найти такое частное решение заданного дифференциального уравнения, для которого

► Заметим, что решением данного уравнения является функция где С – произвольная постоянная. Пользуясь начальным условием, то есть тем, что , получаем y ( 1 ) = 1+1+C = 3. Cледовательно, С = 1 и искомое частное решение есть функция

Проверьте, является ли заданная функция решением данного дифференциального уравнения (№№ 337 –342):

337. 338.

339. 340.

341. 342.

Найдите значения k , при которых заданная функция является решением данного уравнения (№№ 343 – 348):

343. 344. 345.

346. 347. 348.

Cоставьте дифференциальные уравнения, решениями которых являются указанные функции (№№ 349 – 356):

349. 350. 351. 352.

353. 354. 355. 356.

Найдите угловой коэффициент касательной к интегральной кривой данного дифференциального уравнения в точке ( 1; 2 ) (№№ 357 – 360).

357. 358. 359. 360.

361. Докажите, что касательные ко всем интегральным кривым дифференциального уравнения в точках пересечения кривых с осью y параллельны.

Решите дифференциальные уравнения (№№ 262 – 374).

362. 363. 364. 365.

366. 367. 368. 369.

370. 371. 372. 374.

Изобразите семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (№№ 375 – 378).

375. 376. 377. 378.

Найти частное решение дифференциального уравнения (№№ 379 - 384):

379. 380.

381. 382.

383. 384.

Найдите интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через точку (№№ 385 – 388).

385. 386. 387. 388.

Найти кривую, проходящую через точку , если известен угловой коэффициент касательной в каждой ее точке (№№ 389 – 393).

389. . 390. 391. 392. 393.

394. Дано дифференциальное уравнение . Являются ли функции решениями уравнения? Найдите решение уравнения, удовлетворяющее условию y ( 0 ) = 1. Найдите такие значения k, при которых полученное решение удовлетворяет условию y ( 4 ) = 6.

395. Составьте дифференциальное уравнение процесса : 1) изменения скорости при замедленном прямолинейном движении тела под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости ; 2)  радиоактивного распада вещества, если скорость распада пропорциональна массе m не распавшегося вещества ; 3) увеличения числа микробов N в питательной среде , если число делящихся в единицу времени микробов пропорционально имеющемуся числу микробов ; 4) изменения температуры тела в среде с температурой , если скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды; 5) обесценивания оборудования вследствие его износа, если скорость обесценивания пропорциональна фактической стоимости оборудования. 6) распространения информации, если скорость распространения информации пропорциональна как числу проинформированных потребителей, так и числу потребителей, еще не получивших информацию.

2.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка являются уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид :

(1) или , (2)

где P , , R – функции, разлагающиеся на множители, зависящие только от x или только от y. То есть (1) и (2) имеет вид:

или (3)

(4)

Итак, дифференциальное уравнение первого порядка представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, если коэффициенты при дифференциалах или производная искомой функции являются произведением двух сомножителей, каждый из которых зависит только от одной переменной.

Простейшие алгебраические преобразования таких уравнений обеспечивают разделение переменных и дальнейшее интегрирование.

Разделив оба члена уравнения (3) на и на – в уравнении (4), получим уравнения с разделенными переменными

(5)

. (6)

П р и м е р 3. Решить дифференциальное уравнение

► Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, оно разрешено относительно первой производной искомой функции и имеет вид (4). Разделяя переменные, получим:

Интегрируя обе части полученного уравнения, имеем :

или

где – постоянная интегрирования. Если взять и разрешить результат интегрирования относительно y, получим общее решение дифференциального уравнения в форме степенной функции . Итак решением данного дифференциального уравнения является семейство квадратичных парабол с вершинами в точке А само дифференциальное уравнение показывает это кривые, что обладают той характерной особенностью, что угловой коэффициент касательной к каждой интегральной кривой семейства (к каждой параболе) вдвое больше ординаты точки касания и обратно пропорционален ее абсциссе.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными возможна потеря решений при разделении переменных. В рассмотренном примере фактически предполагается, что . Это значит, что функция исключена из рассмотрения. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является решением данного уравнения. Это решение может быть получено из множества решений при С = 0. Поэтому в данном случае потери решения не произошло. ◄

П р и м е р 4. Решить уравнение

► Здесь также имеем уравнение типа (4). Разделив переменные получим После интегрирования имеем где С – произвольная постоянная. Отсюда следует, что общим решением данного уравнения является функция

Заметим, что функция является решением данного уравнения, она тождественно удовлетворяет уравнению. Однако она была упущена при разделении переменных и поэтому не входит в полученное множество решений. Действительно, равенство не выполняется ни при каких значениях С. Поэтому решениями данного уравнения являются функции и

В 396 – 405 найти общее решение дифференциальных уравнений.

396. 397. 398.

399. 400. 401.

402. 403. 404.

405.

406. Зависимость между скоростью снаряда и пройденным путем l в канале орудия описывается в баллистике уравнением где и . Найти зависимость между временем t движения снаряда и пройденным по каналу орудия расстоянием l.

В задачах 407 - 410 найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям.

407. 409.

408. 410.

411. Найти линию, проходящую через точку (2, 0) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

412. Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

413. Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе точки касания ( коэффициент пропорциональности равен k).

414. Материальная точка массой в 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент сек скорость равнялась 0,5 м/сек, а сила – н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения ?

415. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью = 10 км/час . На полном ходу ее мотор был выключен, и через t = 20 сек скорость лодки уменьшилась до =6 км/час. Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мин после остановки мотора; найти также расстояние, пройденное лодкой в течении одной минуты после остановки мотора.

416. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур. Считая коэффициент пропорциональности k линейно зависящим от времени, и полагая, что при t = 0 Q = Q0, а температура окружающей среды Q , найти зависимость между температурой тела Q и временем t.

2.3 Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если и однородные функции одного измерения). Вследствие этого уравнение не меняет своего вида при подстановке вместо x и у lx и ly, и может быть приведено к виду

(1)

То есть производная неизвестной функции в однородном уравнении является функцией отношения переменных. Если это отношение считать равным , то (1) становится уравнением с разделяющимися переменными и x, принимая вид

П р и м е р 5.

Это однородные функции 2-го измерения. Следовательно, имеем однородное дифференциальное уравнение. Путем простейших преобразований приведем заданное уравнение к виду (1):

Поделим числитель и знаменатель дроби на , тогда

(2)

Теперь, когда очевидно, что , обозначим тогда а и (2) принимает вид или (3)

( 3 ) – уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим :

или

или

Возвращаясь к неизвестной y, имеем общий интеграл заданного дифференциального уравнения –

В задачах 417 - 427 найти общие решения уравнений.

417. 418. 419.

420. 421. 422.

423. 424. 425.

426. 427.

2.4 Линейные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно содержит только первую степень искомой функции y и всех ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид : Оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой . Другой способ решения (вариация произвольной постоянной) состоит в том, что сначала решается уравнение . Результат подставляется в заданное уравнение, при этом считается функцией х.

П р и м е р 6. Найти общее решение уравнения

► Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Проведем решение методом Бернулли, полагая . Поскольку то уравнение примет вид :

или

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций ( например, ) может быть выбрана совершенно произвольно ( поскольку лишь произведение должно удовлетворять исходному уравнению ), выберем функцию так, чтобы тогда Итак, ограничения, накладываемые на , приводят к системе двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Решение первого из уравнений системы дает значение . Действительно, следовательно, . Из множества функций этого общего решения выберем простейшую . Подставляя во второе уравнение системы, получим . Откуда . Итак, искомое решение есть функция . ◄

В задачах 428 - 438 найти общие решения уравнений.

428. 429.

430. 431.

432. 433.

434. 435.

436. 437.

438. где заданная функция.

В задачах 439 – 442 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям :

439. 440.

441. 442.

443. Точка массой, равной m, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен ), протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости от времени.

444. Точка массой, равной m, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшему с момента, когда скорость была 0 (коэффициент пропорциональности равен k). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен ). Найти зависимость скорости от времени.

445. Начальная температура тела q0 °С равна температуре окружающей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: cj(t), где с – постоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры тела от времени, отсчитываемого от начала опыта.

Определить тип дифференциальных уравнений 446 - 457 и найти их общее решение.

446. 447. 448.

449. 450. 451.

452. 453. 454.

455. 456. 457.

В задачах 458 - 460 найти частные интегралы по данным начальным условиям .

458. при

459. при

460. при

Решить дифференциальные уравнения 461 - 471 .

461. 462. 463.

464. 465. 466.

467. 468.

469. при

470. при

471. при

472. Определить кривую, проходящую через точку А (а; а ) , если расстояние от начала координат до касательной в любой точке кривой равно абсциссе этой точки.

Решить уравнения 473 – 491.

473. 474.

475. 476.

477. 478.

479. 480.

481. 482.

483. 484.

485. 486.

488. 489. 490. 491.

В задачах 492 – 495 найти частные решения уравнений , удовлетворяющие указанным условиям.

492. 493.

494. 495.

496. Найти линию, у которой длина нормали пропорциональна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности равен k.

497. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.

498. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс в точке и обладающей таким свойством: длина поднормали в каждой точке линии равна среднему арифметическому координат этой точки.

500. Найти линию, проходящую через начало координат, все нормали к которой проходят через данную точку

501. Какая линия обладает следующим свойством: угол, между осью Ох и касательной к линии в любой ее точке, вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный радиус точки касания.

502. На тело массы m = 1 действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности равен . Кроме того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное скорости тела (коэффициент пропорциональности равен ). Найти закон движения тела (зависимость пути от времени).

503. Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы. Показать, что уравнение движения будет: , где k – постоянная, g – ускорение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и показать, что стремится к при

504. Сила трения, замедляющая движение диска, вращающегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости вращения.

1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 оборота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин после начала вращения?

2) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборотов в секунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 оборота в секунду. Через сколько времени после начала вращения он будет обладать угловой скоростью, равной 1 оборот в секунду?

505. Пуля входит в доску толщиной H = 0,1 м со скоростью м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску.

506. Капля воды имеющая начальную массу г и равномерно испаряющаяся со скоростью m г/сек, движется по инерции с начальной скоростью г/сек. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и ее радиусу. В начальный момент ( t = 0 ) она равна дин. Найти зависимость скорости капли от времени.

507. Капля воды, имеющая начальную массу г и равномерно испаряющаяся со скоростью m м/сек, свободно падает в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна скорости движения капли (коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости движения капли от времени, протекшего с начала падения капли, если в начальный момент времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что k ¹ 2 m.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]