Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бердянский государственный педагогический университет им. Осипенко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chap_04.doc

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2019

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

§ 3. Дифференциальные уравнения второго порядка

3.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка.

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида Его решение можно получить путем двукратного интегрирования.

П р и м е р 1. Решить уравнение

► Так как то, интегрируя правую часть уравнения, имеем:

Интегрируя еще раз, получим все решения данного уравнения где произвольные постоянные. ◄

Чтобы из общего решения выделить частное решение уравнения, достаточно задать значение функции и ее производной при фиксированном значении аргумента, то есть где – заданные числа.

Условия, позволяющие найти частное решение уравнения, называются начальными условиями, так как с физической точки зрения они означают, что в фиксированный (начальный) момент времени заданы положение материальной точки и ее скорость, если дифференциальное уравнение описывает движение точки, или, вообще говоря, начальное состояние исследуемого процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

П р и м е р 2. Решить задачу Коши : .

► Найдем решение данного уравнения:

Воспользовавшись начальными условиями, значения констант определим из системы уравнений . Следовательно, , и искомое решение имеет вид функции ◄

Дифференциальные уравнения вида заменой сводятся к уравнениям первого порядка.

П р и м е р 3. Решить уравнение

► Cделав в уравнении замену , имеем Решив полученное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, найдем Cледовательно, искомое решение получим как

◄

Решите уравнения (№№ 508 – 516).

508. 509. 510.

511. 512. 513.

514. 515. 516.

Составьте дифференциальное уравнение, решениями которого являются заданные функции (№№ 517 –518).

517. 518.

Решите задачу Коши (№№ 519 – 522).

519. 520.

521. 522.

523. Из семейства интегральных кривых уравнения выделите ту, которая в точке (1; 5) имеет касательную с углом наклона к оси , равным .

524. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону , где а – ускорение, м/с , t – время, с. Начальное положение и начальная скорость 10 м/с. Найдите закон движения тела, положение и скорость в момент t = 3 с, момент времени, когда скорость будет наименьшей.

525. Тело массой m под действием постоянной силы F начало двигаться (t = 0) из начала координат со скоростью Найдите закон движения тела. Определите положение тела через 3 с после начала движения, если м/с, Н, m = 4 кг.

526. Найдите начальную скорость, при которой тело массой m = 3 кг за 10 с от начала движения пройдет 60 м под действием силы F = 3 Н.

527. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью м/с. При торможении сопротивление движению пропорционально массе локомотива с коэффициентом пропорциональности 0,2. Определите: через какое время от начала торможения он остановится. Найдите путь, пройденный локомотивом от начала торможения до остановки.

Решите уравнения (№№ 528 – 533).

528. 529. 530.

531. 532. 533.

Решить задачу Коши (№№ 534 – 536).

534. 535.

536.

537. Тело массой m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной скорости. Найдите закон движения тела, если m=20 кг, коэффициент пропорциональности и в начале замедления движения скорость равнялась 1,4 м/с. Определите путь, пройденный телом за 10 с от начала замедления движения.

538. Тело массой m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости. Найдите закон движения тела, если m=100 кг, коэффициент пропорциональности и в начале замедления движения скорость равнялась 40 м/с. Определите путь, пройденный телом от начала замедления до момента, когда скорость будет равна 1 м/с .

3.2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнение вида: (1)

где p и q – некоторые функции х или действительные числа, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, так как содержит их только в первой степени.

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с ненулевой правой частью. Если то уравнение

(2)

называется линейным однородным ( или уравнением с нулевой правой частью ), соответствующим уравнению (1).

3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по известному числу их частных решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения определяется теоремой :

Теорема. Если линейно независимые частные решения уравнения (2), то есть общее решение этого уравнения, где – произвольные постоянные величины.

Примечание. Функции линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной, то есть

Н а п р и м е р.

1) линейно независимы;

2) линейно независимы;

3) линейно зависимые функции.

Частное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами может быть найдено в виде .При этом функция является решением рассматриваемого уравнения тогда и только тогда, когда k является корнем квадратного уравнения называемого характеристическим уравнением.

Решение дифференциального уравнения (2) зависит от значения корней характеристического уравнения.

Если – действительные числа, то при и и

, если

если корни комплексные:

П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения

► Характеристическое уравнение имеет вид и его корни Следовательно, частные линейно независимые решения будут а поэтому общее решение имеет вид ◄

П р и м е р 2. Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям : при t = 0, x = 0,

► Характеристическое уравнение имеет вид и его корни Следовательно, общее решение Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно и .

Откуда Cледовательно, решением, удовлетворяющим начальным условиям, будет ◄

П р и м е р 3. Найти решение задачи Коши .

► Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение Дискриминант уравнения Следовательно, корни характеристического уравнения , и решение уравнения имеет вид

Воспользовавшись начальными условиями, значения постоянных определим из системы уравнений :

Имеем Искомое решение задачи Коши ◄

Проверить является ли заданная функция решением дифференциального уравнения (№№ 539 – 541).

539.

540.

541.

542. Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, если

1) характеристическое уравнение имеет вид

а) б) в)

2) известны корни характеристического уравнения

а) б) в)

3) общим решением уравнения является функция

В задачах 543-553 найти общие решения уравнений.

543. 544. 545.

546. 547. 548.

549. 550. 551.

552. 553.

В задачах 554-556 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

554.

555.

556.

557. Дано частное решение некоторого линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифференциального уравнения, обращающееся вместе со своей производной в 1 при x = 0.

558. Найти интегральную кривую уравнения проходящую через точку и касающуюся в этой точке прямой

559. Найти интегральную кривую уравнения проходящую через точку и касающуюся в этой точке прямой .

3.4. Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с правой частью (1) определяется теоремой :

Теорема: Если есть частное решение неоднородного уравнения, а и линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, то общим решением линейного неоднородного уравнения будет Иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти какое-нибудь частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения.

При постоянных p и q частное решение находится методом неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения.

1) f (x) – многочлен,

3) f (x) – есть сумма предыдущих функций.

В этих случаях частное решение u имеет тот же вид, что и f (x), отличаясь от нее только коэффициентами.

Исключения составляют особые случаи, когда:

1) f (x) – многочлен, но – корень характеристического уравнения кратности r;

2) но есть корень характеристического уравнения кратности r. В этих особых случаях отличается от f (x) не только коэффициентами, но еще и множителем .

П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения:

► Характеристическое уравнение имеет корни Общее решение соответствующего однородного уравнения будет Частное решение исходного уравнения следует искать в форме правой части уранения, то есть в виде . Поскольку не является корнем характеристического уравнения ,

Итак, Следовательно Но, если – решение дифференциального уравнения, то Таким образом

Следовательно, общее решение данного уравнения ◄

П р и м е р 2. Найти общее решение уравнения:

► Характеристическое уравнение имеет корни а потому общим решением уравнения будет Частное решение следует искать в виде . В данном случае следовательно Так как характеристическое уравнение имеет один корень, равный i, то .