§ 4. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки . Функция имеет в точке максимум (минимум), если для всех точек (x , y) достаточно близких к . Точка называется точкой максимума ( минимума ) или точкой экстремума функции.

Понятие экстремума носит локальный характер, так как значение функции или только для точек достаточно близких к точке , то есть только для точек малой, локальной, окрестности экстремальной точки, здесь .

Чтобы найти экстремальные точки функции, достаточно воспользоваться необходимым условием экстремума. Оно такое же, как и для функции одной переменной, где в экстремальных точках производная первого порядка равна нулю или не существует. А поскольку функция двух переменных имеет две частные производные первого порядка, то необходимое условие экстремума сводится к одновременному равенству нулю или не существованию обеих частных производных, то есть если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть и одновременно, или не существуют.

Однако, если в некоторой точке выполняется необходимое условие экстремума, то есть все частные производные функции здесь одновременно обращаются в нуль или не существуют, то данная точка не обязательно является точкой экстремума.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими точками. Поскольку дифференциал первого порядка в критической точке функции всегда равен нулю (почему?), выяснить характер критической точки позволяет дифференциал второго порядка. Если то критическая точка – точка максимума функции. Если то – точка минимума. Так как дифференциал второго порядка связан с производными второго порядка, то используя последние, можно сформулировать достаточный критерий экстремума. Обозначим частные производные в критической точке следующим образом: А теперь сформулируем достаточное условие экстремальности критической точки

Пусть функция непрерывна в некоторой области вместе со своими частными производными первого и второго порядка и точка является критической точкой. Тогда,

1) Если , то – точка экстремума. Функция имеет здесь максимум при и минимум при

2) Если , то в точке нет экстремума;

3) Если , то заключение об экстремуме сделать нельзя. В этом случае требуются дополнительные исследования.

П р и м е р 2. Найти экстремум функции .

► Поскольку экстремум функции возможен только в критических точках, где одновременно все частные производные равны нулю или не существуют, находим частные производные первого порядка. Это и Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

Решая систему, находим следующие критические точки данной функции: .

С помощью достаточных условий экстремума выясним, какие из этих точек являются точками экстремума. Для этого найдем частные производные второго порядка для заданной функции. Нетрудно видеть, что Подставляя в выражения для частных производных координаты критических точек и используя достаточное условие экстремума, имеем:

– для точки следовательно, М₁ – не экстремальная точка;

– для точки то есть точка М₂ не является экстремальной точкой;

– для точки значит точка М₃ также не экстремальная точка;

– для точки , то есть М₄ – точка экстремума. Так как , М₄ – точка минимума функции, ◄