5. Несинусоидальные функции с периодической огибающей

В отличие от периодических функций, рассмотренных выше, существуют несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими. Для них характерно то, что они имеют конечное число слагаемых в разложении. Причем, частоты огибающих и составляющих ряда несоизмеримы. Классическим примером таких функций являются биения и модуляция.

1. Биения

Функция биения представляет собой сумму двух синусоидальных колебаний, имеющих одинаковые амплитуды и близкие, но не равные частоты.

f₁ = A_msinω₁t, f₂ = A_msinω₂t, причемω₁ > ω₂, ω₁ ≈ ω₂.

Сумма этих функций:

.

Обозначим

; .

Тогда

; ω>>Ω.

Рис.7.105. График функции биения

Из Рис. 7 .105 следует, что частота огибающей или частота биений f_б =  /равняется числу максимумов огибающей кривой в единицу времени.

Период биений Т_бне равен периоду кривойf(t):

;

Если отношение  /  = 2k – 1составляет целое нечетное число, то период биений совпадает с периодом кривой f(t).

В случае, когда период биений и период огибающей несинусоидальны, т.е. их отношение не равно целому числу, результирующее колебание является квазипериодическим.

2. Модуляция

Синусоидальные колебания характеризуются тремя основными параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. В случае, когда один из этих параметров медленно меняется во времени по некоторому периодическому закону, то говорят об амплитудной, частотной или фазовой модуляции. Рассмотрим данное явление на примере амплитудной модуляции, которая может быть представленна функцией вида:.

f(t) = A_m(t)sinω_оt,

где A_m(t)– меняется по некоторому периодическому закону.

f(t) = A_оm(1 – mcos(Ωt))sinω_оt; ω_о >> Ω

ω_о– несущая частота;

Ω– модулирующая частота;

m < 1– коэффициент(глубина) модуляции. Он показывает отклонение амплитуды модулирующего колебания от некоторого среднего значения.

f(t) = A_оmsinω_оt + A_оmmcos(Ωt)sin(ω_оt;.

f(t) = A_оmsinω_оt + 0,5A_оmm·[sin((ω_о – Ω)t) + sin((ω_о+Ω)t)].

Полученный результат показывает, что модулирование по амплитуде колебания являются суммой трех колебательных составляющих. Одно происходит с несущей частотой ω_о. Два других–с боковыми частотами(ω_о – Ω )и(ω_о + Ω ). Сказанное позволяет построить результирующую функцию:

Рис.7.106. График модулированных по амплитуде колебаний

Этот вид модуляции далеко не лучший, поскольку он в наибольшей степени подвержен помехам. Для повышения помехоустойчивости используются комбинированные методы модуляции.

6. Резонансные явления в цепях с несинусоидальными источниками

Рассматривая однофазные синусоидальные цепи, мы познакомились с явлением резонанса. Указанные явления имеют место в цепях и с несинусоидальными источниками, однако, в этом случае они имеют определенную специфику, связанную с тем обстоятельством, что резонанс может возникнуть как на основной, так и на высших гармониках.

Для последовательного контура в цепях с несинусоидальным источником условие резонанса будет задано соотношением:

,

где ω- частота основной гармоники;k– номер гармоники.

Рис.7.107. Зависимость тока от индуктивности

.

7. Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками

1. Заданную несинусоидальную функцию, питающую цепь, раскладывают в ряд Фурье и ограничиваются при этом тремя четырьмя членами ряда, включая постоянную составляющую, если они есть.

2. Любым из известных методов расчета сложных электрических цепей производится расчет токов и напряжений заданной цепи. При этом используется комплексный метод расчета. Эта процедура выполняется для всех гармоник ряда, включая и постоянную составляющую, которая эквивалентна цепи с постоянным током.

Комплексное решение, полученное на каждой из гармоник складывать нельзя, с целью получения обобщенного решения задачи. Эту процедуру мешает выполнить то обстоятельство, что соответствующее полученным решениям векторы будут вращаться с различными угловыми частотами, поэтому полученные комплексные решения должны быть переведены в реальные функции времени и лишь затем просуммированы, основываясь на принципе наложения.

Сказанное проиллюстрируем примером.

a) b)

Рис.7.108. Форма подаваемого напряжения (a) и схема исследуемой цепи (b)

U_вх = 100Вдействующее значение (для первой гармоники),X_L = 25 Ом, X_C = 100 Ом, R = 50 Ом.

Определить действующее напряжение на выходе, ограничиваясь первыми тремя членами ряда, на который можно разложить функцию u_вх(ωt).

Используя известное разложение, получим:

;

;

;

Для определения функции выходного напряжения составим передаточную функцию исходной цепи, которая связывает входное и выходное напряжения и является частотно-зависимой:

;;;

;;;

.

При k = 0 .

При k = 2 .

Полученный результат показывает, что амплитуда выходного сигнала в точности равна амплитуде входного. Фаза выходного напряжения на этой же гармонике опережает фазу входного напряжения на 90^˚.

При k = 4 .

Используя полученный результат, трансформируем входной ряд напряжения и получим соответствующий ряд выходного напряжения в реальном времени.

;

.

В случае если на выходе появилась бы постоянная составляющая, то ее также необходимо учесть, путем внесения под знак корня квадрата ее величены (делить на нельзя).