7. Несинусоидальные токи

Расчет электрических цепей, выполненный ранее, проводился в предположении, что источники энергии были либо постоянными, либо синусоидальными и вызывали в элементах цепей постоянные или синусоидальные токи. В реальных условиях кривые ЭДС, напряжения и тока лишь в определенной мере могут считаться синусоидальными, при этом указанные параметры цепей могут иметь характер периодический, квазипериодический (почти периодический) и непериодический. Это происходит за счет наличия в электрических цепях нелинейных элементов: вентиль (диод), электрическая дуга, катушка со стальным сердечником (дроссель), различного рода электрические помехи и т.д., которые искажают синусоидальную функцию, приводя к появлению несинусоидальных функций токов и напряжений, кроме того, сам источник энергии может являться генератором несинусоидальной ЭДС.

Рис.7.102. Пример несинусоидальных периодических функций

1. Разложение периодической функции в тригонометрический ряд

Во всех задачах, где приходится иметь дело с периодическими несинусоидальными функциями токов, ЭДС и напряжений, необходимо свести их к более простому виду, для которого возможно применение известных методов расчета. Процессы, происходящие в линейных электрических цепях при несинусоидальных токах и напряжениях, удобнее всего рассчитывать, если воспользоваться тригонометрическим рядом Фурье. В общем случае выражение этого ряда примет вид:

f(ωt) = A₀ + A_1msin(ωt+ψ₁) + A_2msin(2ωt + ψ₂) + … 140(7.137)

Первое слагаемое носит название нулевой гармоники или постоянной составляющей ряда, где kномер гармоники, приk = 0ψ_k = π/2,A_km = A₀нулевая гармоника. Она присутствует в составе ряда не всегда. Если функция симметрична относительно оси времени, то нулевой гармоники нет.

Второе слагаемое это первая или основная гармоника ряда, задает основной периодT = 2π/ω.

Все остальные слагаемые носят название высших гармоник ряда. Период каждой из них кратен периоду основной гармоники. Сделаем преобразование ряда, раскрыв синус суммы:

141(7.138)

;;

;;

Коэффициенты ряда определяются по следующим формулам:

;142(7.139)

;

.

Выражения для коэффициентов ряда позволяют получить разложение в ряд любой периодической функции, однако для большинства таких функций, которые используются в теории электрических цепей, эти разложения уже получены и могут быть взяты в соответствующей справочной литературе.

Состав элементов ряда может быть упрощен, если вид исходной функции обладает тем или иным видом симметрии.

Рис.7.103. Виды симметрии периодических функций

1) f(ωt) =  f(ωt+π)– функция симметричная относительно осиОX.

Разложение в ряд такой функции не содержит постоянной составляющей и четных гармоник:

f(ωt) = A_1msin(ωt + ψ₁) + A_3msin(3ωt + ψ₃) + A_5msin(5ωt + ψ₅) + …

2) f(ωt) = f( ωt)– функция симметричная относительно осиОY.

В этом случае ряд не содержит синусных составляющих:

f(ωt) = A₀ + A_1mcosωt + A_2mcos2ωt + A_3mcos3ωt + …

3) Функция симметрична относительно начала координат:

f(ωt) =  f(ωt);

Такая функция не содержит постоянной составляющей и косинусных составляющих:

f(ωt) = A_1msinωt + A_2msin2ωt + A_3msin3ωt + …