2.2. Нормальный закон распределения

В большинстве практических случаев нормальный закон отражает распределение случайной величины. Он широко применяется в теории массового обслуживания и используется при обработке результатов статистических измерений.

В нормальном законе используется функция вида

y(x) = e^x.

Функция e^x называется экспонентой. Символ e является константой, имеющей значение 2,71. Число 2,71 является основанием натурального логарифма. Прологарифмируем экспоненту:

ln(e^x) = x.

Экспонента применяется в различных законах распределения, которые будут рассмотрены в данном курсе. График функции представлен на рис. 7.

Рис. 7. График функции экспонента

От переменной x функция зависит следующим образом:

-при x > 0 значения функции быстро увеличиваются с ростом x;

-при x = 0 имеем e⁰ = e¹/e¹ = e^{1 – 1} = 2,71/2,71 =1;

-при x < 0 имеем e^–x = 1/e^x;

-при уменьшении x < 0 значения функции быстро снижаются, асимптотически приближаются к нулю, но не достигают нуля.

В практических приложениях используется в основном область изменения переменной x < 0. Запишем некоторые значения функции:

e^–1 = 0,37; 1 – e^–1 = 0,63.

Например, в теории автомобиля функция M = M_max (1 – e^–t/) применяется для описания процесса нарастания тормозного момента M при применении пневматической тормозной системы. В формуле M_max – максимальный момент, , с – постоянная времени. Комбинациями экспонент описываются различные колебательные процессы, для чего переменная x представляется комплексной переменной.

Нормальный закон распределения выражается формулой:

где: p – вероятность события, заключающегося в том, что случайная величина x равна значению переменной x; значение p соответствует частости (см. рис. 3);

 – среднее квадратичное отклонение;

x_ср – среднее значение случайной величины.

Выразим нормальным законом распределение скоростей автомобилей в транспортном потоке:

f(V) = e^y/(  (2)), y = – (V – V_ср)²/(2 ²),

где , км/ч – среднее квадратичное отклонение скорости от среднего значения V_ср.

График функции f(V) зависит от двух параметров V_ср и . На рис. 8 приведены графики функции f(V) для различных значений V_ср и .

Рис.8. Функции нормального распределения скоростей:

1 –  = 5, 2 –  = 7,5, 3 –  = 10, 4 –  = 12,5 км/ч

График функции f(V) симметричен относительно среднего значения скорости. При малом значении  график имеет явно выраженный экстремум. При увеличении  максимум функции снижается, и функция растягивается по скорости.

По графику можно ориентировочно найти среднюю скорость и среднее квадратичное отклонение (рис. 9). Среднее значение скорости соответствует максимуму функции. Для расчета среднего квадратичного отклонения на графике находят значение максимума F_max и вычисляют 0,61 F_max. Затем проводят горизонтальную линию. Расстояние между точками пересечения этой линии с кривой слева и справа равно .

Рис.9. Определение оклонения  по графику функции

Интеграл от функции f(V) по скорости от V = 0 до заданного значения скорости описывает функцию, выражающую накопленную частость. График накопленной частости для законов, приведенных на рис. 8, отражен на рис. 10.

Рис.10. График накопленной частости

На рис.10 кривые пронумерованы в том же порядке, что и на рис. 8.