6.2. Применение поправок к закону Пуассона

Для расширения области применения распределение Пуассона используют поправки к формуле p(, t, n).

1) Вводят коэффициент  в степень экспоненты:

p = e^{–  t}  (  t)ⁿ/n!.

2) Прибавляют в экспоненту функцию влияния p, учитывающую условия движения:

p = e^{–  t + p}  (  t)ⁿ/n!.

3) Учитывают естественную ограниченность временного интервала:

p = e^{–k  t}  (  t)ⁿ/n!, где k = (t – t_min)/(t_ср – t_min),

где t_ср – среднее значение интервала, заданное интенсивностью ;

t_min – минимальное значение интервала между автомобилями.

Распределение 3), получаемое при учете ограниченности временного интервала, называют смещенным распределением.

По данным Красникова А.Н. введение коэффициента  позволяет добиться лучших результатов, показанных на рис. 21.

Рис. 21. Распределение временных интервалов, рассчитанное

с поправочным коэффициентом : 1 –  = 0,5; 2 –  = 1; 3 –  = 1,5

Если  = 1, то имеем обычное распределение Пуассона. Если  < 1, то максимум на диаграмме становится меньшей величины, а при  > 1 – большей величины.

Однако введение указанных поправок не позволяет существенно расширить область применения распределения Пуассона. Например, одновременное введение коэффициента  и применение смещенного распределения позволят описывать распределения лишь до интенсивности 250 авт/ч на двухполосных дорогах (125 авт/ч на полосе).

6.3. Распределение Пирсона III типа

Для описания интервалов между автомобилями иногда используют логарифмический закон распределения. Распределение отличается высокой асимметричностью, применяется при образовании пачек автомобилей (уровень удобства B).

Более широкое применение получило распределение Пирсона III типа. Закон описывает вероятность распределения интервалов времени между автомобилями следующей функцией:

p = a^k  e^{–a t}  t^k–1/Г(k),

где p – вероятность или относительное число интервалов.

k, a – коэффициенты; t, с – интервал времени;

Г(k) – гамма функция (в формуле константа).

Значение функции Г(k) легко вычисляется численным интегрированием по x от 0 до 50. Это значение мало изменяется, и примерно равно 0,9. Среднее значение интервала равно t_с = k/a, дисперсия  = k/a².

На рис. 22 и 23 показаны в качестве примера функции Пирсона при варьировании коэффициентов k и a.

Рис. 22. Распределение интервалов времени между автомобилями,

рассчитанное по закону Пирсона типа III для a = 0,3:

1 – k = 1,4; 2 – k = 1,5; 3 – k = 1,6; 4 – k = 1,7

Запишем значения коэффициентов для рис. 22:

a = 0,3; k = 1,4, 1,5, 1,6, 1,7; t_с = 4,67, 5, 5,33, 5,67;

 = 15,6, 16,7, 17,8, 18,9; Г = 0,887, 0,886, 0,893, 0,909.

Запишем значения коэффициентов для рис. 23:

k = 1,7; a = 0,2, 0,25, 0,3, 0,35; t_с = 8,5, 6,8, 5,67, 4,86;

 = 42,5, 27,2, 18,9, 13,9; Г = 0,909.

Рис. 23. Распределение интервалов времени между автомобилями,

рассчитанное по закону Пирсона III типа для k = 1,7:

1 – a = 0,2; 2 – a = 0,25; 3 – a = 0,3; 4 – a = 0,35

Это распределение применимо на дорогах с двумя полосами и интенсивностью движения до 650 авт/ч, на автомагистралях с четырьмя полосами – до 1250 авт/ч (325 на одну полосу).