7.3. Макроскопическая теория тп
Разработаны модели ТП, построенные на учете макроскопических явлений, имеющих место в потоке.
Поток нельзя представить как обычную не сжимаемую жидкость. Если такая жидкость движется по трубе переменного сечения, то в широком месте скорость потока снижается, а в узком месте увеличивается. В узком месте автомобили должны двигаться с большой скоростью с прежними пространственными интервалами. Это противоречит свойствам ТП: при увеличении скорости интервалы увеличиваются.
Поток нельзя представить в виде обычного газа. Газ может сжиматься, а транспортный поток при низкой скорости становится плотным и не сжимается.
Поэтому поток представляют в виде сжимающейся жидкости, которая имеет одновременно свойства жидкости и газа. Он состоит из близко расположенных друг к другу автомобилей, образующих сплошную среду. Такой, гидродинамический подход, разработан Д. Дрю (США).
Законы движения сжимающейся жидкости известны. Они разработаны в гидродинамике: закон неразрывности; закон сохранения количества движения; закон сохранения энергии.
Для описания транспортного потока применяют, рассмотренное выше, основное уравнение, связывающее его интенсивность , плотность и скорость V:
= V .
Объем жидкости, проходящей через трубу, определяется величиной подаваемой на ее вход жидкости. Движение сжимающейся жидкости во многом соответствует движению не сжимаемой жидкости: объем жидкости, входящей в трубу равен объему жидкости, выходящей из трубы. Это свойство выражает закон неразрывности.
Закон неразрывности накладывает ограничение на поток: движение должно быть установившемся. Процесс заполнения трубы противоречит закону неразрывности жидкости. Это не позволяет моделировать заполнение свободных дорог автомобилями, остановку транспортного потока перед светофором (гидроудар), и др. Поэтому макроскопическую модель применяют для описания установившегося (стационарного) транспортного потока.
Пусть поток располагается в некоторой трубе (рис. 27), и движется вправо по переменной x. Движения потока происходит по времени t.
Выделим в потоке участок длиной x (см. рис. 27). Пусть за интервал времени t на этот участок прибывает N1 автомобилей и выбывает N2 автомобилей. Тогда число N автомобилей, находящихся на этом участке, будет равно разности: N = N1 – N2. Если N > 0, то плотность на участке увеличится, если N < 0, то плотность уменьшится.
Рис. 27. Схема к составлению уравнений макроскопической модели ТП
Однако для равномерно движущейся жидкости масса, входящая на участок x, равна массе жидкости, выходящей из участка. Поэтому транспортный поток представляют стационарным, и принимают следующие условия (ограничения): если на участке увеличивается плотность, то уменьшается скорость движения; если уменьшается плотность, то скорость – повышается.
Дифференцируем основное уравнение ТП:
d/dt = V d/dt + dV/dt = 0.
В эту формулу не входит расстояние, что не позволяет составить модель ТП. Поэтому принимают: плотность связана с расстоянием x, а интенсивность со временем t, и составляют уравнением неразрывности:
(6.14)
Оно содержит частные производные по расстоянию и времени. Сумма скорости изменения интенсивности по расстоянию и скорости изменения интенсивности (за счет изменения плотности) по времени равна нулю. Уравнение отражает, что число Nвх входящих слева в поток автомобилей равно числу Nвых выходящих из него справа автомобилей (см. рис. 27).
Запишем уравнение движения потока автомобилей, используя известное уравнение, описывающее движение потока сжимаемой жидкости:
(6.15)
где C – постоянная, отражающая сжимаемость потока.
Запишем смысл этого уравнения: ускорение ТП (–dV/dt) прямо пропорционально производной плотности потока по расстоянию, и обратно пропорционально величине плотности потока.
Если на участке x плотность потока снижается (d/dx < 0), то скорость V потока увеличивается. Если на участке плотность потока увеличивается, то скорость V потока уменьшается. Увеличение и снижение скорости потока зависит от его плотности и сжимаемости. При малой плотности поток быстро реагирует на изменение плотности на участке. При большой плотности скорость потока изменяется медленно.
Вывод сложных формул, выражающих закон сохранения количества движения и энергии потока, опускаем.
Из уравнений (6.14) и (6.15) составляют систему дифференциальных уравнений с частными производными с неизвестными V и . Интенсивность выражают через скорость и плотность, используя основное уравнение ТП. Задают начальные условия. Теперь их называют граничными условиями. Магистраль представляют состоящей из различных участков. Для каждого участка в уравнения (6.14) и (6.15) вводят соответствующие граничные условия и коэффициенты, учитывающие ширину дороги на участке, наличие препятствий движению и др.
Получают математическую модель ТП, по которой рассчитывают квазистационарное его движение. Однако эта модель является сложной и редко применяется в практических расчетах.
Библиографический список
1. Автомобильные перевозки и организация дорожного движения: Справочник. Пер. с англ. /В.У. Рэнкин, П. Клафи, С. Халберт и др. – М.: Транспорт, 1981. – 592 с.
2. Теория транспортных потоков в проектировании дорог и организации движения. Сильянов В.В. М.: Транспорт, 1977, 303 с.