§5. Интервалы между автомобилями

Данные о распределении пространственных и временных интервалов между автомобилями необходимы для расчета фаз светофорных объектов.

В свободном потоке типа A интервалы l_П между автомобилями мало зависят от их типа (рис. 18) /2/.

Рис. 18. Зависимости пространственных интервалов l_П от скорости:

1 – грузовой автомобиль за грузовым; 2 – грузовой автомобиль за легковым;

3 – легковой автомобиль за грузовым; 4 – легковой автомобиль за легковым

Значения интервалов получены по результатам аэрофотосъемки. По графикам хорошо видно, что при скорости более 40 км/ч интервалы l_П начинают интенсивно увеличиваться. Расстояния между легковыми автомобилями обычно меньше, чем между грузовыми автомобилями.

Пространственный интервал l_П, м можно подсчитать по временному интервалу t, с: l_П = t V/3,6 гдеV, км/ч.

На прямолинейных участках интервалы движения зависят не только от скорости движения, но и от наличия в потоке медленно движущихся автомобилей. Так, при увеличении в потоке числа медленных автомобилей с 20% до 40% временной интервал t снижается с 4,3 до 2,2 с /2/.

Автомобили, движущиеся в свободном потоке, не оказывают влияния друг на друга при временных интервалах более 8 с. В частично связанном потоке автомобили движутся с интервалом 1,5 … 8 с. В связанном потоке наблюдаются лишь малые интервалы 1,0 … 1,3 с.

При движении автомобилей на кривых в плане дороги наблюдается уплотнение автомобилей и сокращение интервалов. Так, при уменьшении радиуса поворота с 450 м до 100 м интервал t снижается с 3,2 до 2,1 с /2/.

При движении на подъеме увеличивается число медленно движущихся автомобилей (в основном грузовых). Перед подъемом уже формируются пачки автомобилей. Растет число минимальных интервалов на 4 … 5%. Существенно затрудняются обгоны, а на спуске обгоны облегчаются.

§6. Математические модели, выражающие распределения

интервалов между автомобилями

Важным показателем движения ТП является распределение интервалов между автомобилями. Распределение интервалов является основой для расчета процесса взаимодействия автомобилей в потоке и выбора фаз работы светофорного объекта. Распределение интервалов описывается различными законами, но с разной точностью. Одного универсального закона не существует.

6.1. Закон Пуассона

Закон Пуассона применяется для описания распределения частости автомобилей, проходящих через сечение дороги, а также частости интервалов между автомобилями. Законом Пуассона распределение числа автомобилей выражается наиболее просто.

Закон Пуассона описывает случайное распределение Пуассона, и относиться к классу экспоненциальных распределений:

p(n) = e^{– t}  (  t)ⁿ/n!,

где n ­– число автомобилей, проходящих через сечение дороги;

 – интенсивность движения, авт/ч;

t – интервал времени, ч.

В формуле закона применяется функция n!. Она вычисляется как произведение, например 5! = 1  2  3  4  5 = 120.

Формула p(n) выражает вероятность прохождения n автомобилей через сечение дороги от переменной n при постоянных значениях  и t.

По закону Пуассона можно также рассчитать распределение частоты временных интервалов p(t). Теперь переменной является интервал t, а значения n и  считаются постоянными.

Рассмотрим пример построения распределения Пуассона. Возьмем три интенсивности движения:  = 200, 400 и 600 авт/ч. Примем интервал времени 90 с (1,5 мин).

Заметим, что в формуле нужно согласовать друг с другом размерности интенсивности движения и интервала t. Для согласования приведем интервал t, сек к размерности t, час: 90 с = 90/3600 = 0,025 ч.

Подставляем в формулу p(n) закона значения , t, варьируем n, и вычисляем вероятности p (частости). Получаем несимметричную функцию распределения вероятности, показанную на рис. 19.

Для нормального закона переменная изменяется в диапазоне – … +, а для закона Пуассона переменная n изменяется от 0 до ограниченного значения. Если для нормального закона имеет место симметричное распределение, то распределение Пуассона является несимметричным.

Распределение отражает, что при увеличении интенсивности движения, возрастает частость прохождения через сечение небольшого числа автомобилей. То есть, очередь из автомобилей перед светофором сначала заполняется быстро, а затем медленно. Число автомобилей в очереди, рассчитанное по нормальному закону, меньше, чем число автомобилей, рассчитанное по закону Пуассона. Следовательно, рассчитывая фазы работы светофора по нормальному закону, мы получим постепенное накопление очереди автомобилей, которые не успеют покинуть перекресток за заданный интервал времени.

Рис. 19. Вероятности (частости) прохождения n автомобилями сечения

дороги при интенсивностях 1 – 200, 2 – 400 и 3 – 600 авт/ч за время 1,5 мин

Рассмотрим теперь, для каких потоков справедливо распределение Пуассона.

В качестве примера возьмем четырехполосную, прямолинейную магистраль при интенсивностях движения до 500 авт/ч. По одной полосе магистрали интенсивность движения составляет 500/4 = 125 авт/ч. По данным Красникова А.Н. для такой магистрали распределение Пуассона применимо (рис. 20).

На рис. 20 представлена зависимость частости временных интервалов от интервалов.

Интервалы времени t связаны с числом n автомобилей, проходящих через сечение дороги за время T. Пусть интенсивность потока  равна 400 авт/ч. В среднем автомобили следуют через интервал 9 с: 1/ = 3600/400 = = 9 с. За время T = 90 с через сечение пройдет 10 автомобилей:

n = T/t = 90/9 = 10 авт.

Экспериментальные данные отражены на графике точками. Рассчитанное распределение показано кривой 1. Легко видеть, что экспериментальные данные хорошо описываются законом Пуассона. При этом распределение частот имеет несимметричную форму.

На двухполосных дорогах распределение Пуассона применимо при интенсивности до 100 авт/ч по одной полосе. На шестиполосных дорогах распределение применимо при интенсивности до 1100 авт/ч (183 авт/ч по одной полосе).

В среднем получаем, что распределение Пуассона справедливо при интенсивности менее 180 авт/ч на одной полосе движения, то есть применимо для свободного потока типа А.

Рис. 20. Распределение временных интервалов между автомобилями

при интенсивностях 1 – 400 и 2 – 1160 авт/ч

Для оценки справедливости распределений применяют критерий Романовского В.И., который построен на статистическом критерии согласия ² (читается хи квадрат). Критерий ² показывает, насколько расчетная кривая отличается от экспериментальной кривой. Чем меньше площадь, заштрихованная на рис. 20, тем меньше значение критерия ². Критерий Романовского В.И. рассчитывают по формуле:

R = (² – )/(2 ),

где  – число степеней свободы. Число степеней свободы соответствует числу неизвестных в функции p(, t, n). Для закона Пуассона  = 1.

Если величина R < 3, то считают: расчетная и экспериментальная кривые отличаются не существенно. Если R  3, то различие существенно, и данное распределение применять не корректно.

Для интенсивности  = 400 (кривая 1) имеем R = 1,8 – различие не существенно. Для интенсивности  = 1160 (кривая 2) фактическое распределение становится более несимметричным, имеет явно выраженный максимум. Такое распределение не описывается законом Пуассона: имеем критерий R = 9,4.