Задача 3.7

Г-н Z, владеющий капиталом W₀ = 50000 у.е., предполагает израсходовать его в двух периодах t и t+1: часть капитала он планирует потребить в периоде t (обозначим ее c_t), а оставшуюся часть s_t инвестировать на этот период в портфель ценных бумаг для увеличения потребления в t+1-ом периоде. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг к началу t+1-ого периода и стандартное отклонение его доходности составляют соответственно = 12% и _p = 25%.

Г-ну Z предлагают купить дисконтную безрисковую облигацию с номиналом N=1000 у.е., погашаемую к началу t+1-ого периода.

1. Считая, что функция полезности потребителя Z описывается квадратичной моделью (1) с параметром 55000 у.е., а показатель его «нетерпения»  = 0,98, определите его текущую оценку данной облигации, а также ее ожидаемую доходность.

Указание. Определите вначале оптимальный выбор индивидом величины потребления и инвестиций, пользуясь решением задачи 3.3. Найдите коэффициент относительного избегания риска Эрроу-Пратта для г-на Z; рассчитайте ожидаемое значение коэффициента дисконтирования и текущую оценку облигации, а также ее ожидаемую доходность с точки зрения данного потребителя.

2. Как зависит текущая оценка и ожидаемая доходность облигации от ожидаемой доходности портфеля ценных бумаг ? от стандартного отклонения доходности портфеля _p? Исследуйте и постройте графики соответствующих зависимостей. Почему при стандартном отклонении портфеля, большем 39%, ожидаемая доходность облигации становится отрицательной? Имеет ли смысл решение в этом случае?

3. Дайте геометрическую интерпретацию результатов задачи на плоскости (, ).

Задача 3.8

Индивидуальный потребитель Y планирует направить капитал W₀ = 5000 у.е. на финансирование расходов двух периодов времени t и t+1: часть капитала c_t он предназначает для потребления в периоде t, инвестируя оставшуюся часть капитала s_t на этот период в портфель ценных бумаг для увеличения потребления в t+1-ом периоде.

Потребителю Y предоставляется возможность вложить небольшую по сравнению с его богатством сумму в рискованный финансовый актив А, ожидаемая стоимость которого к началу t+1-го периода, по предположению, должна составить <x_{t +1}> = 100 у.е.

1. Определите текущую оценку актива А (его «справедливую» цену и ожидаемую доходность) с точки зрения потребителя Y, если:

1. его функция полезности описывается квадратичной моделью (1) с параметром 5500 у.е.;

2. показатель его «нетерпения»  = 0,98;

3. ожидаемая г-ном Y доходность портфеля его ценных бумаг и стандартное отклонение его доходности составляют соответственно = 12% и _p = 25%;

4. стандартное отклонение доходности актива и корреляция его доходности с доходностью портфеля соответственно равны _A = 40% и _Ap = 0,8.

   2. Как зависит текущая оценка актива от ожидаемой доходности портфеля ценных бумаг ? от стандартного отклонения доходности портфеля _p? Разберите по отдельности зависимости безрисковой доходности и премии актива за риск от _p, постройте соответствующие графики.

3. Как зависят безрисковая доходность и премия актива за риск от степени избегания риска инвестором? Разберите зависимость безрисковой доходности и премии актива за риск от параметра функции полезности. Дайте интерпретацию полученным результатам.