Задача 2.6

Потребительские расходы г-на Х в текущем году составляют 95 тыс. у.е., а в следующем, по его оценкам, должны достигнуть 100 тыс. у.е., однако в случае повреждения автомобиля их придется сократить на величину затрат на ремонт.

Страховой полис позволяет компенсировать дополнительные затраты на ремонт. Предположим, их величина и вероятности оцениваются следующим образом:

	Событие 1 - страховой случай не произошел	Событие 2 - страховой случай произошел
Дополнительные затраты, тыс. у.е.	-	50
Вероятность события	0,9	0,1

1. Определите двумя способами «справедливую» с точки зрения г-на Х цену полиса, если его «показатель нетерпения»  = 0,92, а индивидуальная функция полезности описывается квадратичной моделью (1) с параметром 200 тыс. у.е.:

Первый способ: найдите «справедливую» цену из условия неизменности функции полезности (5) при покупке полиса.

Второй способ: воспользуйтесь для нахождения цены непосредственно формулой (6).

2. Почему два способа определения «справедливой» цены приводят к различным результатам? Который из двух способов является более точным и корректным? Почему?

3. Пользуясь для «субъективной справедливой» цены полиса результатами первого способа, найдите ожидаемую доходность полиса с точки зрения потребителя. Как объяснить, что ожидаемая доходность получилась отрицательной? Может ли полис иметь положительную ожидаемую доходность?

4. Определите безрисковую доходность с точки зрения г-на Х. Сопоставьте ожидаемую доходность полиса с безрисковой доходностью и определите для полиса «премию за риск». Дайте интерпретацию полученным результатам.

Глава 3.

Межвременной выбор.

«Портфельное» приближение в теории оценивания

Краткие сведения из теории.

• Оптимальное распределение индивидом богатства W₀ между потреблением в текущем периоде c_t и сбережениями s_t

(10)

находится из условия максимизации двухпериодной функции полезности потребления U(t,t+1) (соотношение (5)). При этом учитывается, что потребление в (t+1)-ом периоде c_t+1 происходит за счет сбереженных в начале периода t средств s_t, инвестированных в активы, валовая доходность которых равна R (вообще говоря, случайная величина):

(11)

Приравнивая к нулю производную по c_t двухпериодной функции полезности

,

получаем уравнение для определения оптимального уровня потребления

. (12)

Оптимальную величину сбережений находим из соотношения (10).

• В так называемом «портфельном» приближении теории оценивания считают, что источником потребления индивидуума в (t+1)-ом периоде c_t+1 является капитал, инвестированный в начале периода t в портфель активов, валовая доходность которого к началу (t+1)-ого периода предполагается равной (в формуле (11) в качестве доходности следует брать ).

В этом случае при некоторых дополнительных предположениях удается представить случайный фактор дисконтирования m_t+1 (см. глава 2, формула (9)) в линейной относительно доходности портфеля форме [11]

(13)

Коэффициент  в последней формуле определяется соотношением

и носит название показателя относительного избегания риска Эрроу-Пратта [11,13], характеризующего конкретного потребителя-инвестора. Обратную к нему величину

называют толерантностью инвестора к риску [10].

При подстановке «портфельного» приближения (13) для фактора дисконтирования в уравнение (7) формула оценивания выражает ожидаемую доходность актива через безрисковую доходность R_f (определяемую соотношениями (8), (9) с учетом (13)) и ковариацию его доходности с доходностью портфеля инвестора [11]:

(14)

• При решении задач, в которых индивидуальная функция полезности определена экспоненциальной моделью (2), в ряде случаев полезны известные в теории вероятностей и математической статистике формулы статистического усреднения случайных величин с нормальным законом распределения [1,2]

(15а)

(15б)

Здесь R – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения со средним значением и дисперсией [1,2],  – постоянный множитель.