Задача 4.1

Инвестор К, индивидуальная функция полезности которого описывается экспоненциальной моделью (2) с параметром тыс. у.е., распределяет свои вложения (в общей сложности его богатство, предназначенное для инвестирования, составляет W₀=100 тыс. у.е.) между индексным портфелем [8,10], ожидаемая доходность которого предполагается равной , а стандартное отклонение доходности _I = 25%, и безрисковыми активами, имеющими доходность r_f = 4%.

1. Найдите оптимальную – максимизирующую ожидаемую полезность – структуру его инвестиций (выбор между вложениями в индексный портфель S₀ и безрисковые активы B₀). Доходность индексного портфеля предполагается нормально распределенной случайной величиной.

Указание: воспользуйтесь формулой статистического усреднения (15а).

2. Зависит ли инвестируемая в индекс сумма при построении оптимального портфеля от богатства инвестора W₀? Почему? Как следует вложить свои средства инвестору, если его капитал составляет, например, 50 тыс. у.е.?

3. Выполните решение задачи выбора оптимального портфеля геометрическим методом – методом кривых безразличия на плоскости S₀ (ось абсцисс) и B₀ (ось ординат). Желательно воспользоваться при этом электронными таблицами Ms Excel, построив с их помощью кривые безразличия и проанализировав зависимость этих кривых от параметров задачи.

Указание: каждая кривая безразличия в этом случае отвечает некоторому фиксированному уровню ожидаемой полезности портфеля, а линия бюджетного ограничения определяется начальным богатством инвестора W₀ .

Задача 4.2

Г-н D планирует инвестировать сумму W₀=100 тыс. у.е., разделив свои вложения между безрисковыми активами B с доходностью r_f = 7% и индексным портфелем («индексом») S, относительно доходности которого r_I имеется следующий прогноз:

Вероятность p	0,25	0,5	0,25
Доходность rI, %	-28	12	52

Функция полезности г-на D является степенной (модель (4)) с показателем степени =0,1.

1. Исследуйте зависимость ожидаемой полезности инвестиций г-на D от величины капитала S, вкладываемого в индекс (можно вывести зависимость не от капитала S, а от доли индекса в портфеле ). Постройте соответствующий график. Почему с ростом вложений в индекс ожидаемая полезность вначале возрастает, а затем начинает убывать?

Определите, при каком распределении вложений между безрисковыми активами и индексом портфель инвестора получается оптимальным.

2. Выведите уравнение для определения оптимальной величины инвестиций в индекс.

(Указание: для этого необходимо продифференцировать выражение для ожидаемой полезности портфеля по S (или по x_s) и приравнять производную к нулю.)

Полученное уравнение решите численно при помощи электронных таблиц (Меню «Сервис – Подбор параметра»). Совпадает ли решение уравнения с результатом части 1 настоящей задачи?

3. Каким образом сумма инвестиций в индекс, оптимизирующая портфель, зависит от богатства инвестора W₀? Сравните свой вывод с ответом на вопрос части 2 задачи 4.1.