Задача 3.4

1. Рассмотрите задачу выбора между потреблением и сбережениями индивидом, имеющим логарифмическую функцию полезности (3) с параметром = 2000 у.е., если предполагается следующее распределение вероятностей доходности рискованного актива к началу (t+1)-го периода:

Вероятность p	0,25	0,5	0,25
Доходность r

Остальные данные возьмите из условия задачи 3.3.

Проведите вычисления при =8% и %.

Указание: при нахождении максимума двухпериодной функции полезности представьте ожидаемую полезность в виде разложения по трем возможным состояниям с учетом их вероятностей. Полученное уравнение относительно величины сбережений s_t (или потребления c_t) решите численно при помощи электронных таблиц [4] (функция меню MsExcel «Сервис - Подбор параметра»).

2. Исследуйте при помощи электронных таблиц зависимость сбережений в текущем периоде s_t от размаха вариаций доходности актива . Постройте график полученной зависимости. Как влияет на инвестиционный климат рост предполагаемых рисков финансовых активов?

Задача 3.5

1. Выполните решение задачи (3.4) для случая, когда индивидуальная функция полезности задана в экспоненциальной форме (2), а доходность рискованного актива является нормально распределенной случайной величиной со средним значением =8% и стандартным отклонением =40%. Значение параметра функции полезности принять равным = 1000 у.е.

Указание: пользуясь соотношениями (15а) и (15б), составьте уравнение относительно суммы сбережений индивида s_t, для решения которого воспользуйтесь электронными таблицами (функция меню MsExcel «Сервис – Подбор параметра»).

2. Исследуйте зависимость сберегаемой индивидом суммы s_t от ожидаемой доходности актива в интервале и постройте ее график. Сопоставьте полученную зависимость с соответствующей зависимостью s_t(R_f) при отсутствии риска актива (часть 3 задачи 3.2). Как влияет риск актива на склонность потребителя к сбережению?

3. Постройте зависимость сбережений s_t от ожидаемой доходности актива в том же интервале значений , если индивид более толерантен к риску (его функция полезности имеет экспоненциальную форму, причем параметр = 5000 у.е.). Сравните эту зависимость с результатом части 3 задачи 3.2 и сделайте вывод о влиянии риска на выбор между потреблением и сбережениями в данном случае.

4. Сопоставьте результаты части 2 и части 3 настоящей задачи. Почему влияние риска на склонность индивида к сбережению может быть противоположным в зависимости от его предпочтений (убывания предельной полезности)?

Задача 3.6

Г-н К предполагает обеспечить личное потребление в двух последовательных периодах времени t и t+1 за счет капитала, текущая величина которого составляет W₀ = 60000 у.е. Часть капитала c_t он предназначает для потребления в периоде t, а часть (обозначим ее s_t) планирует держать в портфеле активов, ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности которого к началу t+1-го периода полагаются равными соответственно и _p=25%.

Индивидуальная функция полезности потребителя К описывается экспоненциальной моделью (2) с параметром = 20000 у.е., показатель его «нетерпения» =0,96; доходность портфеля активов считается нормально распределенной случайной величиной.

1. Полагая, что индивидуальный потребитель К осуществляет оптимальный выбор между потреблением и сбережениями в периоде t, определите его толерантность к риску  в подобных условиях.

Указание: для нахождения оптимального выбора между потреблением и сбережениями воспользуйтесь численным методом решения предыдущей задачи.

2. Каким образом толерантность к риску зависит от величины начального капитала W₀? Исследуйте количественно эту зависимость и постройте ее график.

3. Пользуясь тем, что наклон касательной к кривой безразличия инвестора в переменных (, ) равен (этот наклон характеризует «норму замещения» риска ожидаемой доходностью – требуемую инвестором «премию за единицу риска»), определите «справедливую» с точки зрения потребителя К безрисковую ожидаемую доходность (ставку дисконта для безрискового актива).

4. Рассчитайте безрисковую доходность непосредственно из определений (8) и (9), пользуясь формулами статистического усреднения для нормально распределенных случайных величин (см. задачу 3.5). Сопоставьте результат со значением расчетов графическим методом в части 3 настоящей задачи.