Задача 4.5

Стандартные отклонения доходностей акций двух различных типов равны соответственно ₁ и ₂, коэффициент корреляции их доходностей составляет . Покажите, что если  < 1, то при объединении акций в портфель стандартное отклонение доходности портфеля _p оказывается меньше средневзвешенного значения двух стандартных отклонений ₁ и ₂.

Задача 4.6

Г-н N владеет акциями компании А, стандартное отклонение доходности которых _А=25%. Он хотел бы снизить риск своих инвестиций, приобретая в дополнение к этим акциям акции компании В, имеющие стандартное отклонение _В=35%.

1. При каких значениях корреляции _AB между доходностями акций А и В г-ну N путем приобретения акций В удастся снизить риск своих инвестиций?

2. Предположим, корреляция между доходностями акций _AB=0,6. При какой структуре портфеля, состоящего из акций А и В, он будет иметь минимальный риск? Найдите соответствующие доли x_A и x_B.

Задача 4.7

Портфель Р сформирован из двух типов акций А и В в долях соответственно x_A и x_B. Стандартные отклонения доходностей акций равны соответственно _A и _B; пусть _AB - корреляция между их доходностями. Инвестор планирует добавить в указанный портфель акции типа С, для которых стандартное отклонение доходности составляет _C , а корреляции доходности с акциями А и В равны соответственно _AC и _BC.

1. Выразите корреляцию _CP доходности акций С и портфеля Р. Рассчитайте эту корреляцию, приняв x_A = 0,5; x_B =0,5; _A = 32%; _B = 35%; _AB = 0,45; _AC = 0,6; _BC = 0,7. Дайте объяснение тому факту, что корреляция акций С с портфелем получилась больше, чем корреляции этих акций с его компонентами: _CP > _AC; _CP > _BC.

2. Исследуйте зависимость корреляции _CP от структуры портфеля Р (долей в нем акций А и В) при помощи электронных таблиц. Постройте график зависимости этой корреляции от доли акции В в портфеле _CP(x_B).

3. При любых ли значениях корреляции _AB зависимость _CP(x_B) получается немонотонной? Проведите исследование данного вопроса в электронных таблицах.

Задача 4.8

Портфель инвестора включает акции трех компаний в следующих стоимостных долях: x₁=0,4; x₂=0,3; x₃=0,3. Стандартные отклонения доходностей акций предполагаются равными соответственно ₁=24%; ₂=36%; ₃=38%, взаимные корреляции между доходностями акций ₁₂=0,8; ₂₃=0,6;₁₃=0,55.

1. Найдите ковариацию доходности каждой из акций с доходностью портфеля _1p, _2p и _3p, а также стандартное отклонение доходности портфеля _p.

2. Определите корреляцию доходности каждой из акций с доходностью портфеля _1p, _2p и _3p.

3. Определите коэффициенты  каждой из акций относительно портфеля _1p, _2p и _3p.

4. Почему у акций третьей компании оказывается меньший коэффициент , чем у акций второй компании, несмотря на то, что ₃>₂ ?

Глава 5. Рыночная модель доходности

Поскольку между вариациями доходностей различных акций обычно существует более или менее тесная связь (корреляция), часто говорят об изменчивости отдельных акций по отношению к среднерыночному показателю – фондовому индексу [8,10]. Для описания доходностей отдельных акций поэтому пользуются регрессионной рыночной моделью [5,6,8,10]

(23)

Здесь r_i - доходность отдельной акции, r_I - доходность индекса, _iI - «чувствительность» доходности акции к колебаниям доходности индекса, _i - индивидуальная для каждой акции константа, _i - «необъясняемый» рыночной моделью случайный остаток («шумовая» часть вариаций доходности) с нулевым средним значением и .

В этом случае дисперсия доходности акции может быть представлена в виде [8,10]

(24)

Первое слагаемое в этой формуле описывает «рыночный» (или систематический) риск данной акции, второе – ее «индивидуальный» риск (предполагается, что у различных активов случайные остатки некоррелированы [2]).