Задача 4.3

Инвестор М формирует портфель, состоящий из рыночного индекса и безрисковых активов. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности индекса составляют, по его предположениям, соответственно и , безрисковые активы имеют доходность r_f .

1. Определите в рамках подхода, использующего функцию ожидаемой полезности вида (16), оптимальную структуру портфеля (доли вложения в рыночный индекс x_s и в безрисковый актив x_f), если толерантность к риску инвестораравна .

2. При какой величине толерантности к риску оптимальный портфель инвестора не будет содержать безрисковых активов?

3. Пользуясь ответом к части 1 настоящей задачи, найдите оптимальную структуру портфеля для задач 4.1 и 4.2.

Указание: для этого необходимо выразить толерантность инвестора к риску через его индивидуальную функцию полезности (см. «Краткие сведения из теории» к главе 3).

Сопоставьте результаты точного метода решения проблемы выбора портфеля (задачи 4.1 и 4.2) и приближенного метода Марковица (часть 1 настоящей задачи). Почему для степенной функции полезности метод Марковица дает не совсем точные результаты?

Задача 4.4

Инвестор формирует портфель из двух типов рискованных активов (акций), ожидаемые доходности и стандартные отклонения доходности которых предполагаются равными соответственно и . Корреляция доходности акций, по его предположению, составляет . Кроме того, ему доступны вложения в безрисковые активы и безрисковые заимствования, процентная ставка по которым для простоты предполагается одинаковой и составляет r_f.

1. Пользуясь представлением (16) для функции ожидаемой полезности, определите структуру оптимального портфеля инвестора (доли вложения в акции каждого типа и в безрисковый актив), если известна его толерантность к риску . Проведите вычисления для случая , 12%, 18%, 30%, 40%,  = 0,3,  = 1,2.

Решение. Чтобы найти ожидаемую полезность портфеля в представлении (16), выразим его ожидаемую доходность и дисперсию доходности через параметры составляющих его активов (формулы (17), (18)):

(17’)

(18’)

при этом сумма долей всех активов, входящих в портфель, должна равняться единице:

(19)

Определение структуры оптимального портфеля с математической точки зрения представляет собой задачу поиска условного экстремума функции; для ее решения удобно воспользоваться методом построения функции Лагранжа [1,3,13]:

,

причем для ожидаемой доходности и дисперсии портфеля используются формулы (17’), (18’).

Для нахождения оптимальных долей каждого актива x₁, x₂ и x_f приравниваем к нулю частные производные функции Лагранжа по этим переменным

Из третьего уравнения получаем множитель Лагранжа:

.

Подставляя его в оставшиеся уравнения, имеем два условия, определяющие оптимальную структуру портфеля:

Решение этой системы дает

(20)

(21)

Доля безрискового актива

(22)

Для заданных в условии задачи значений параметров x₁  0,3; x₂  0,42; x_f  0,28.

2. Согласно выражениям (20) – (22), доли каждого типа акций в оптимальном портфеле x₁ и x₂, а также доля безрискового актива x_f могут не только положительными, но и отрицательными. Каков экономический смысл полученного решения в этом случае?

3. При какой толерантности к риску инвестор не станет ни вкладывать в безрисковые активы, ни занимать по безрисковой ставке?

4. Зависит ли соотношение стоимостных долей вложений в первый и второй активы x₁ : x₂ от толерантности инвестора к риску? Почему?

5. Исследуйте, пользуясь выражениями (20) – (22), зависимости структуры оптимального портфеля от:

а). толерантности инвестора к риску  ;

б). корреляции между активами ;

в). риска каждого актива ₁ и ₂;

г). «премии за риск» каждого актива и .