Задача 3.1

Индивид N располагает богатством W₀=6000 у.е., которое он планирует распределить для потребления в двух периодах t и t+1. Часть богатства s_t индивид в начальный момент времени сберегает и инвестирует в безрисковый актив, что обеспечивает его потребление во (t+1)-ом периоде. Валовая доходность актива к началу (t+1)-ого периода составляет R_f=1,08, показатель «нетерпения» индивида =0,98.

1. Каким образом индивиду следует оптимально распределить в текущем периоде t свое богатство между потреблением c_t и сбережением s_t, если его функция полезности имеет логарифмический вид (3) с параметром = 2000 у.е.?

Решение. В случае инвестирования в безрисковый актив, доходность которого R_f достоверно известна, усреднение в правой части уравнения (12) можно опустить. Подставляя значение предельной полезности для логарифмической модели (см. главу 1), получаем уравнение

относительно оптимального уровня потребления c_t. Решая его, находим

Оптимальный уровень сбережений .

Для заданных в условии значений c_t =2975,68 у.е.; s_t =3024,32 у.е.

2. Исследуйте зависимость сбережений в текущем периоде s_t от доходности безрискового актива R_f и показателя нетерпения . Постройте графики соответствующих зависимостей и .

Задача 3.2

1. Выполните решение предыдущей задачи, если индивидуальная функция полезности является квадратичной (формула (1)), причем параметр = 10000 у.е.

2. Предположим, функция полезности индивида имеет экспоненциальную форму (2). Найдите оптимальное распределение богатства между потреблением и сбережением в текущем периоде, если параметр функции полезности = 1000 у.е. (остальные данные возьмите из условия задачи 3.1).

3. Для случая экспоненциальной функции полезности потребителя исследуйте зависимости текущего потребления c_t и сбережения s_t от валовой доходности безрискового актива R_f в интервале при трех значениях параметра :

а). =1000 у.е.; б). =3300 у.е.; в). =5000 у.е.

Значения начального богатства W₀ и показателя нетерпения  возьмите из условия задачи (3.1). Постройте соответствующие графики. Почему характер зависимостей c_t(R_f) и s_t(R_f) в случаях а), б) и в) оказывается качественно различным? Дайте экономическое объяснение этому факту.

4. Каким образом в настоящей и предыдущей задачах влияет на выбор индивида между потреблением и сбережениями величина параметра функции полезности ? Почему зависимость текущего потребления от параметра может быть как прямой, так и обратной?

Задача 3.3

Богатство индивида М, предназначенное для потребления в двух периодах t и t+1, составляет W₀=6000 у.е. Потребление (t+1)-го периода c_t+1 планируется организовать за счет части исходного богатства (сбережений), инвестируемой на период t в рискованный актив, ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности которого за этот период (к началу (t+1)-го периода) предполагаются соответственно =8% и =30%. Показатель «нетерпения» г-на М  =0,98.

1. Каким образом в таком случае индивиду следует распределить исходное богатство между потреблением c_t в текущем периоде и сбережениями s_t, если его функция полезности задана квадратичной моделью (1) с параметром = 10000 у.е.?

2. Сопоставьте полученные значения с результатами части 1 задачи 3.2. Как влияет риск актива на индивидуальный выбор между потреблением и сбережениями?