Вопрос 3. Вероятность случайных событий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Если каждому случайному событию A из алгебры событий ставится в соответствие некоторое число , то говорят, что на алгебре событий задана числовая функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Вероятностью называется числовая функция, заданная на алгебре событий, так, что выполняются следующие аксиомы

1) аксиома неотрицательности для всех случайных событий A

2) аксиома аддитивности , если , то есть несовместны

3)  , W - достоверное событие.

Тогда вероятностью случайного события A называется число .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если пространство всех элементарных исходов бесконечно, то вероятность задается несколько сложнее.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Вероятностным пространством называется совокупность пространства элементарных исходов, алгебра событий и вероятность, заданная на алгебре событий.

Для данного пространства элементарных исходов и алгебры событий можно в принципе задать несколько числовых функций, для которых выполнены три перечисленные выше аксиомы. Поэтому возникает вопрос какую из этих функций нужно выбрать и какой вообще практический смысл в выборе вероятности, если этот выбор неоднозначен? Ответ на этот вопрос дает свойство устойчивости относительных частот наступления события A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Относительной частотой наступления события A в серии из N независимых испытаний называется отношение числа N(A) появления события к N, то есть .

Из опыта известно важное свойство устойчивости относительных частот

СВОЙСТВО 1. (УСТОЙЧИВОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ) С ростом N до бесконечности относительная частота n(A) события A стремится (начинает колебаться) около некоторого постоянного значения.

Это постоянное значение, заключенное между нулем и единицей, следует принять за вероятность случайного события A.

ПРИМЕР 13. Пусть вероятность изготовления бракованной детали равна p=0,06. Тогда в партии из 1000 деталей бракованных будет около 0,06×1000=60 деталей.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ПРИМЕР 14. Пусть вероятность крупного выигрыша в лотереи равна . В розыгрыше куплено билетов, тогда количество крупных выигрышей будет примерно равно . Это означает, что нужно ожидать два - три крупных выигрыша.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

Вопрос 4. Основные соотношения между вероятностями событий.

Докажем несколько теорем, которые устанавливают ряд полезных соотношений между событиями.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность невозможного события равна Æ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем . Так как достоверное событие W и невозможное событие Æ несовместны, то по второй аксиоме . Следовательно, .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 2. Вероятность противоположного события равна .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , и , то , следовательно .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность любого события A находится в пределах .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A произвольное случайное событие. Тогда и . Но , тогда .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 4. Если событие B происходит, как только происходит событие A, то и .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что событие B содержит все элементарные исходы принадлежащие событию A, поэтому . Но и поэтому по второй аксиоме . Отсюда и, так как , то .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ТЕОРЕМА 5. Если A и B два события B, то вероятность того, что произойдет или событие A, или событие B, или оба вместе равна .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представим сумму событий в виде . Тогда . Но . Отсюда .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Л Е К Ц И Я N 13