Вопрос 2. Случайные события. Алгебра событий.

Пусть для некоторого вероятностного опыта в принципе построено пространство элементарных событий W.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Под случайным событием понимается множество A элементарных исходов, принадлежащее пространству W.

Случайное событие A характеризуется тем, что про него можно сказать принадлежит ли элементарный исход w событию A или нет.

ПРИМЕР 5. Пусть монета подбрасывается два раза подряд. Тогда событие A, состоящее в том, что выпадает герб хотя бы один раз можно представить как множество элементарных исходов , а событие B, состоящее в том, что решка выпадает два раза подряд, есть .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Событие A называется достоверным, если оно содержит все элементарные исходы., то есть если .

ПРИМЕР 6. Выпадение герба или решки при бросании монеты два раза подряд есть достоверное события, так как при любом испытании выпадает решка или герб.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Событие A называется невозможным, если оно не содержит ни одного элементарного исхода. Будем его обозначать Æ.

ПРИМЕР 7. Выпадение герба три раза подряд, при брасании монеты два раза подряд есть невозможное событие.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Суммой событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что происходит или событие A, или событие B, или события A и B одновременно. Сумму событий будем обозначать символом + : .

Сумму событий можно рассматривать и с теоретико-множественной точки зрения. Сумму событий A и B можно определить как объединение множества элементарных исходов события A со множеством элементарных исходов события B.

ПРИМЕР 8. Пусть монета подбрасывается два раза подряд и пусть даны события и . Тогда их сумма есть .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Произведением событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что происходит одновременно или событие A, или событие B. Произведение событий будем обозначать так: .

Произведение событий можно рассматривать и с теоретико-множественной точки зрения. Произведение событий A и B можно определить как пересечение множества элементарных исходов события A со множеством элементарных исходов события B.

ПРИМЕР 9. Пусть монета подбрасывается два раза подряд и пусть даны события и . Тогда их произведение есть

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Два события A и B называются несовместными, если их произведение является невозможным событием AB=0.

ПРИМЕР 10. Выпадение герба два раза подряд и выпадение решки два раза подряд это примеры несовместных событий.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Разностью событий A и B называется событие C, заключающееся в том, что происходит событие A, но не B. Будем записывать это так: .

ПРИМЕР 11. Пусть даны события и , тогда .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Событие A, заключающееся в том, что событие A не происходит, называется противоположным к событию A. Очевидно, что можно записать .

ПРИМЕР 12. Пусть дано событие . Тогда .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Алгеброй событий называется множество всех случайных событий, включая и невозможное и достоверное события, вместе с операциями сложения, вычитания и умножения событий.

ЗАМЕЧАНИЕ. Указанное определение справедливо только для вероятностного эксперимента, имеющего конечное число элементарных исходов.