Вопрос 2. Независимость случайных событий.
Пусть
A и B два случайных события, таких что
и
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
2. Событие A
не зависит от события B,
если вероятность наступления события
A
не зависит от B,
иначе
.
По формуле умножения вероятности,
получаем
.
ТЕОРЕМА 1. Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A ( и ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу предыдущей формулы
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
В связи с теоремой 1 вводят определение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
3. Случайные события A
и B
называются независимыми статистически,
если
.
ТЕОРЕМА
2. Если события A
и B
независимы, то независимы и события A
и
,
и B,
и
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
2)
- аналогично.
ТЕОРЕМА
3. Если A и B два независимых события, то
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Вопрос 3. Формула бернулли и формула пуассона.
Пусть
имеются только два элементарных исхода
A
и
с вероятностями соответственно p
и q
(p+q=1).
Пусть вероятностный эксперимент
независимо повторен n
раз. Тогда вероятность того, что событие
A
будет наблюдаться ровно k раз дается
формулой Бернулли
ПРИМЕР 2. Пусть ЭВМ содержит пять блоков, которые за время T выходят из строя независимо друг от друга с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что из строя за время T выйдет ровно 2 блока?
Имеем
p=0,1,
q=0,9,
n=5
и k=2.
Тогда
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
Если
и
,
тогда формула Бернулли переходит в
формулу Пуассона
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Так как
и
,
то подставляя в формулу Бернулли, получим
или
Перейдем к пределу при фиксированном k
Учитывая, что
получим
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
Л Е К Ц И Я N 15
Вопрос 1. Случайные величины и их классификация.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. Случайной величиной X
называется числовая функция,
заданная на пространстве элементарных
исходов, такая, что для любого вещественного
x множество
элементарных исходов w,
таких, что
,
является событием, то есть
есть некоторое событие из алгебры
событий.
ПРИМЕР
1. Пусть монета подбрасывается один раз
и пусть выпадению решки соответствует
0, а выпадению герба 1. Тем самым определена
случайная величина X,
принимающая значения 0 и 1 с одинаковой
вероятностью
.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
ПРИМЕР
2. Пусть в некоторой точке земного шара
регистрируется направление ветра в
данный момент. Пространство элементарных
событий здесь - совокупность всех
направлений. Каждому направлению можно
сопоставить в соответствие угол X
из
,
который отсчитывается от выделенного
направления до зарегистрированного
направления ветра, то есть X
есть случайная величина.
КОНЕЦ ПРИМЕРА.
Будем
обозначать случайные величины большими
латинскими буквами X,
Y,
Z
... . Таким образом, если X
есть некоторая случайная функция, то
для каждого элементарного исхода w
определено значение
.
Над случайными величинами можно
осуществлять обычные арифметические
операции:
1)
сложение
2)
вычитание
3)
умножение на число a
4)
умножение
5)
деление
Справедлива следующая теорема
ТЕОРЕМА
1. Пусть X
случайная величина и пусть
случайное
событие. Тогда случайными событиями
являются следующие множества элементарных
событий:
,
,
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Очевидно, что
,
поэтому B
есть случайное событие. Далее,
,
но каждое множество является случайным
событием и следовательно их произведение
является случайным событием. Теперь
получаем
.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
СЛЕДСТВИЕ 1. Любое множество исходов, таких что
является случайным событием.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представим каждое множество в виде разности двух случайных событий
отсюда следует, что все они являются случайными событиями.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.