Вопрос 2. Оценка параметров распределения по выборке.

Распределение случайной величины X характеризуется рядом параметров, такими как математическое ожидание, дисперсие и т.д.. Приближенные значения этих параметров могут быть найдены из выборки наблюдений случайной величины. Эти приближенные значения называют оценками параметров или просто оценками.

Оценки параметров распределения являются значениями некоторых функций элементов выборки, называемых статистиками. Приведем пример наиболее важных оценок числовых характеристик и соответствующих статистик.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Выборочным средним называется среднее арифметическое значение элементов выборки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Выборочной дисперсией называется число

При малых объемах выборки в качестве выборочной дисперсии лучше использовать формулу

Пусть имеется выборка объема n из некоторой генеральной совокупности случайной величины X. Так как значения элементов получены случайным образом и при повторении измерений будут другими, то выборку можно рассматривать как набор n независимых случайных величин или как n мерный случайный вектор, каждая координата которого имеет распределение генеральной совокупности. Распределение этого случайного вектора называют распределением выборки. Поэтому статистики можно расматривать как случайные величины. Зная распределение выборки методами теории вероятности можно найти распределение используемых статистик.

Для оценки параметра можно использовать несколько статистик. Очевидно, что они могут приводить к различным значениям оценкам. В качестве оценки нужно взять такую статистику, значения которой для различных выборок в среднем были бы близки к истиному значению параметра. С увеличением объема выборки надежность оценки должна так же возрастать. Качество оценок характеризуется некоторыми свойствами:

1) несмещенность

2) состоятельность

3) эффективность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Оценка q параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

Примером несмещенной оценки является выборочное среднее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Оценка q(n) параметра q называется состоятельной, если при увеличении объема выборки оценка сходится по вероятности к q.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Оценка q параметра называется несмещенной, если ее математическое

В математической статистике показано, что с ростом выборочное среднее и выборочная дисперсия приближаются соответственно к

,

если случайная величина является дискретной или

,

если случайная величина является непрерывной.

Это позволяет использовать выборочные среднюю и дисперсию в качестве оценки соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины, из генеральной совокупности которой получена выборка.

Список литературы

Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т.2. ‑ М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 544 с.

2. Владимирский Б.К., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. – СПб.: Издательство Лань, 2002. – 960 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: В 3-х т.; Учеб. для вузов инж.-техн. спец. Т. 3 : Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. ‑ 6-е изд., стер. ‑ М.: Дрофа, 2004. ‑ 511 с.

4. Мантуров О.В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей. - М.: Высш. шк., 1991. – 448 с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.2: Учеб. пособие для втузов.-5-е изд., испр.- М.:Высшая школа, 1997. – 416 с.

6. Сборник задач по математике для ВТУЗов. т.2. Специальные разделы математического анализа / ред., А.В.Ефимов, Б.П.Демидович. - М.: Наука, 1981. ‑ 367 с.

7. Сборник задач по математике для ВТУЗов т.3. Специальные курсы / ред. А.В.Ефимов - М.: Наука, 1984. – 608 с.

8. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях Ч. 2: Учеб. пособие для втузов /А.В. Ефимов, Ф.Ф. Каракулин, С.М. Коган, А.С. Поспелов, Р.Я. Шостак. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 4-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2003. ‑ 432 с.

9. Бугров Я. С., Никольский С. М. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для инж.-техн.спец.вузов / - 3-е изд., доп. - Ростов н/Д: Феникс, 1997. - 351с.

10. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей: Учеб. для втузов. ‑ М.: Агар, 1996. – 255 с.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. ‑ 11-е изд., стер. ‑ М.: Высш. школа, 2005. – 479 с.

12. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие. ‑ 10-е изд., стер. ‑ М.: Высш. школа, 2005. – 404 с.

13. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: Математический практикум для экономистов и инженеров: Учебное пособие. -М.: Финансы и статистика, 1999. – 656 с.

14. Коваленко И.Н., Филипова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.-2-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. редакция физико-математической литературы, 1982. – 256 с.

15. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М. Высшая школа, 1992, 304 с.

16. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. – 384 с.

17. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд. 5-е, стереот. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1977. ‑ 736 с.

18. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях Ч. 2: Учеб. пособие для втузов /А.В. Ефимов, Ф.Ф. Каракулин, С.М. Коган, А.С. Поспелов, Р.Я. Шостак. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 4-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2003. ‑ 432 с.

19. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях Ч. 3: Учеб. пособие для втузов /А.В. Ефимов, Ф.Ф. Каракулин, А.С. Поспелов, С.В. Фролов, В.В. Лесин. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 4-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2003. ‑ 576 с.

20. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях Ч. 4: Учеб. пособие для втузов /Э.А. Вуколов, А.В. Ефимов, В.Н. Земков, А.С. Поспелов. Под ред. А.В.Ефимова, А.С.Поспелова . ‑ 3-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: Физ.-матем. лит., 2004. ‑ 432 с.

21. Краснов М.А. , Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1981. – 304 с.

Дополнительная литература:

22. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учебник для вузов по спец. "Физика" и "Прикл. математика". ‑ 4-е изд.,стереотип. ‑ М.: Наука, 1979. – 319 с.

23. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функции комплексного переменного. - 2-е изд., пераб. И доп. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1982. ‑ 488 с.

24. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие для ун-тов. - 5-е изд., испр. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1987. – 688 с.

25. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. ‑ М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1982. – 256 с.

26. Уиттл П. Вероятность. Пер. с англ./Под. Ред. В.В. Сазонова. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1982. – 288 с.

27. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. - Спб.: «Лань», 1998. – 224 с.

28. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Изд.6-е, перераб. и доп. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1988. ‑ 448 с.

29. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. - М.: Наука, Гл. редакция физико-математической литературы, 1985. – 320 с.

30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. – 528 с.

31. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 2: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. ‑ 738 с.

32. Вентцель А.Д. Теория вероятностей. ‑ М.: Высшая школа, 1999. – 576 с.

33. Вентцель А.Д., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.: Учеб. пособие - 2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000. – 480 с.

34. Вентцель А.Д., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.: Учеб. пособие - 2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000. – 383 с.

35. Вентцель А.Д., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для втузов. ‑ 3-е изд., стер. ‑ М.: Высш.шк., 2000. ‑ 366с.

36. Уравнения математической физики. Методическая разработка типовых расчетных заданий для студентов 3 курса энергетических специальностей дневной формы обучения /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: И.В. Терещенко, А.С. Трофимов, Н.И. Фомина. Краснодар, 2000, ‑ 23с.

37. Математическая физика. К выводу некоторых уравнений математической физики. Методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения специальностей 0906, 1007, 1004 /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: И.В. Терещенко, А.С. Трофимов, Н.И. Фомина. Краснодар, 2000. – 35 с.

38. Математическая физика. Решение задач, приводящих к уравнению теплопроводности и уравнению Лапласа. Методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения специальностей 0906, 1007, 1004. /Кубан. гос. технолог. ун-т. Сост.: И.В. Терещенко, А.С. Трофимов, Н.И. Фомина. Краснодар, 2000. 23 с.

39. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания к выполнению типовых расчетных заданий для студентов 2 и 3 курсов всех специальностей дневного и вечернего отделений /Краснодар: изд. КПИ. Сост.: К.А. Кирий, Хамитова Д.Ф., В.А. Акулова, Л.Н. Киселева 1986. – 24 с.

40. Операционное исчисление. Методические указания к проведению практических занятий со студентами 2-го курса специальностей 21.01 и 21.03 /Краснодар. политехн. ин-т. Сост.: С.А. Свободина, С.М. Михеева ‑ Краснодар, 1990. – 42 с.

41. Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений /Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. ‑ М.: Высш. школа, 1985. – 144 с.