Лекция № 6. Операционное исчисление.

Вопрос 6.1. Таблица оригиналов и изображений.

Вопрос 6.2. Основные теоремы операционного исчисления.

Вопрос 6.3. Свертка оригиналов. Теорема Бореля.

Вопрос 6.4. Способы восстановления оригинала по изображению и нахождения изображения от оригинала.

Лекция № 7. Операционное исчисление.

Вопрос 7.1. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

Вопрос 7.2. Интеграл Дюамеля.

Пусть функция задана на прямоугольнике . Разобьем отрезки и точками .

Рис. 1. Разбиение прямоугольника Q.

и проведем через точки разбиения прямые, параллельные соответствующим осям. Тогда прямоугольник Q будет разбит на nm прямоугольников разбиения. Возьмем один из прямоугольников разбиения

.

Под его диаметром будем понимать диагональ длиной

.

Определение 1.1. Диаметром разбиения T прямоугольника Q называется максимальный диаметр прямоугольника разбиения

.

Конец определения.

На каждом прямоугольнике разбиения выберем некоторую точку . Тогда интегральной суммой функции называется число

,

где площадь прямоугольника разбиения .

Определение 1.2. Двойным интегралом от функции называется число, равное пределу интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к 0, если этот предел не зависит от выбора точек :

.

Конец определения.

Двойной (двукратный) интеграл по прямоугольнику Q обозначается символом

.

Геометрический смысл двойного интеграла: если , то есть объем фигуры, основанием которой служит прямоугольник Q и которая сверху ограничена графиком функции (см. рис. 2).

Л Е К Ц И Я N 9

Вопрос 1. Уравнения математической физики. Основные определения и понятия.

В основе математических моделей большинства явлений окружающего мира или математических моделей технических систем лежат дифференциальные уравнения в частных производных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение, связывающие n независимых переменных , независимую функцию и ее частные производные

(1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Порядком уравнения (1) называется порядок старшей производной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Решением уравнения (1) называется всякая функция , которая обращает уравнение в тождество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Уравнение (1) называется линейным, если функция F линейна относительно функции u и ее частных производных.

Большинство физических задач сводятся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. Общий вид такого уравнения

(2)

Функции , , называются коэффициентами уравнения (2), функция называется правой частью уравнения. Будем считать, что коэффициенты , , и заданы и непрерывны на области D переменных . Если коэффициенты , и постоянны, то линейное уравнение (2) называется линейным дифференциальным уравнением в частных производных с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (2) называется линейным однородным, в противном случае уравнение (2) называется линейным неоднородным.

ПРИМЕР 1.

- линейное неоднородное уравнение с переменными коэффициентами.

- линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.

- нелинейное уравнение 2-го порядка.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.