Вопрос 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Классификацию линейных дифференциальных уравнений в частных производных приведем только для уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными x и y. Общий вид таких уравнений

(3)

Линейные уравнения (3) можно разделить на три типа в зависимости от знака величины

, (4)

называемой дискриминантом.

Уравнение (3) называется гиперболическим в некоторой области D, если в ней дискриминант . Уравнение (3) называется параболическим в некоторой области D, если в ней дискриминант . Уравнение (3) называется эллиптическим в некоторой области D, если в ней . Одно и тоже уравнение в некоторой области D может иметь один тип, в другой - второй. Классификация уравнения (3) по знаку дискриминанта будет иметь смысл, если знак не будет зависеть от выбора системы координат. Именно это утверждается в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть переменные x,y и t,s связаны взаимно однозначными дважды непрерывно дифференцируемым отображением

t = t(x,y), s = s(x,y), (5)

тогда для дискриминанта (4) уравнения (3) справедливо равенство

(6)

где

(7)

якобиан отображения. Так как якобиан отображения для взаимооднозначного отображения не равен нулю, то из формулы (6) следует, что знак дискриминанта не зависит от выбора системы координат, поэтому и классификация линейных уравнений не зависит от того, в каких переменных они записаны. Разделение линейных дифференциальных уравнений на три типа соответствует разделению физических явлений на три типа:

1) колебательные и волновые процессы (описываются уравнениями гиперболического типа).

2) явления тепломассопереноса и диффузионные процессы (описываются уравнениями параболического типа).

3) установившиеся или стационарные процессы (описываются уравнениями эллиптического типа).

Вопрос 3. Канонические формы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

Тип уравнения не завит от выбора независимых переменных, поэтому для каждого типа уравнений можно, перейдя к новым независимым переменным t=t(x,y), s=s(x,y), получить уравнения простого вида, называемые каноническими. Для решения канонических уравнений можно затем использовать готовые методы. Перечислим канонические формы уравнений

а) гиперболический тип

(8)

(9)

2-я каноническая форма

б) параболический тип

(10)

в) эллиптический тип

(11)

В дальнейшем изложении ограничимся уравнениями только параболического типа.

Вопрос 4. Вывод одномерного уравнения теплопроводности.

Пусть имеется тонкий однородный стержень. Выделим участок стержня длиной dx, левый конец которого находится в точке с координатой x, а правый - в точке с координатой x+dx. Пусть за время dt температура этого участка изменилась на du градусов. Количество тепла, пошедшего на нагревание этого участка, равно

,

где

c - удельная теплоемкость вещества стержня,

m - масса выделенного участка стержня.

С другой стороны, если боковая поверхность стержня теплоизолирована, то это количество тепла было передано в выделенный участок за счет переноса тепла через поперечное сечение. Согласно закону Фурье можно записать

Так как масса выделенного участка есть m = rSdx, то приравнивая выражения для dQ, получим

или устремляя , получим окончательно уравнение, называемое уравнением теплопроводности

,

где - коэффициент теплопроводности.

Если в стержне имеются источники тепла, то можно показать, что уравнение теплопроводности тогда принимает вид

,

где f(t,x) - интенсивность источников тепла.