Вопрос 1. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на конечном отрезке с однородными граничными условиями первого рода методом фурье (метод разделения переменных).

Пусть дана следующая задача

Будем искать частное решение уравнения в виде

Подставляя в уравнение теплопроводности, получим

или разделяя переменные, получим

Так как левая часть зависит только от t, а правая часть только от x, то равенство возможно для всех t и x только, если каждая дробь является константой. Обозначим эту дробь через -l, тогда получим

или

и

Из граничных условий получим

и

Отсюда получаем, и . С учетом уравнения, получаем следующую задачу, называемую задачей Штурма-Лиувилля

Докажем, что задача Штурма-Лиувилля имеет решение только при l>0

ЛЕММА 1. Если X(x) решение задачи отличное от нуля, то l>0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X(x) решение задачи, отличное от нуля, тогда умножая уравнение на X(x), получим

Интегрируя по x от 0 до l, получим

Первый интеграл вычислим по частям

Тогда получаем соотношение

или

Если l =0, то тогда и следовательно . Из граничных условий следует, что . Таким образом, ненулевому решению соответствует .

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Величина d определяемая из

называется нормой решения X(x).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Величина l называется собственным значением задачи Штурма-Лиувилля. Согласно лемме 1 собственные значения задачи положительны.

ЛЕММА 2. Если и два решения, соответствующие двум разным собственным значениям и , то эти решения ортогональны, то есть

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условий леммы

Умножая первое уравнение на , а второе на и интегрируя по x, получим после вычитания второго уравнения из первого

Так как

то

(последнее следует из граничных условий).

Поэтому получаем

или

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Найдем теперь общее решение уравнения при . Составим характеристическое уравнение для однородного линейного уравнения

Его корнями корнями будут , . Отсюда

Подставим это решение в граничное условие

.

Отсюда A=0. Подставляя во второе граничное условие получим

Отсюда или

Собственным значениям соответствуют собственные функции (решения)

Квадрат нормы этих решений равен

Найдем теперь временную часть решения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корнь равен , тогда общее решение равно

Решение исходной задачи представим в виде бесконечной суммы по всем часным решениям

или

Из начального условия получим

и умножая на и интегрируя по x на отрезке , получим

Из условия ортогональности следует

или

или

ЛЕКЦИЯ N 12

Вопрос 1. Основные понятия теории вероятности.

Теория вероятности - это раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях. Случайное явление характеризуется тем, что при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (при сохранении основных его условий) оно протекает каждый раз несколько по иному. Результат каждого опыта или испытания называется элементарным исходом. Элементарные исходы являются взаимно исключающимися в том смысле, что результатом данного опыта является один и только один исход.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пространством элементарных исходов (элементарных случайных событий) называется множество всех элементарных исходов.

ПРИМЕР 1. Подбрасывание монеты один раз. Элементарные исходы - Р - выпадение решки, Г - выпадение герба. Пространство элементарных исходов .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ПРИМЕР 2. Подбрасывание монеты два раза подряд. Элементарные исходы: . Пространство элементарных исходов .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

ПРИМЕР 3. Подбрасывание игрального кубика один раз. Элементарные исходы {1},{2},{3},{4},{5},{6}. Пространство элементарных исходов .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

В рассмотренных примерах пространство элементарных исходов было счетным. В следующем примере пространство элементарных событий уже несчетно.

ПРИМЕР 4. Пусть в некоторой точке Земли измеряется направление ветра ( измерение делается один раз ). Поскольку направление ветра может быть любым от 0 до 360 градусов, то элементарным исходом здесь является направление ветра, угол которого лежит в промежутке [0,360).

КОНЕЦ ПРИМЕРА.