Вопрос 1.2. Однозначные и многозначные функции. Ветви многозначных функций.

Вопрос 1.3. Предел и непрерывность.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .

Определение 1.3.1. Комплексное число A называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного вещественного числа найдется положительное вещественное число , зависящее возможно от , такое, что для всех комплексных чисел z, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Конец определения.

Предел функции в точке будем записывать так

.

Согласно определению предела функция стремиться к своему пределу независимо от способа приближения точки z к точке . Иными словами, если предел существует, то при z, стремящемся к по любому закону (например, по любой линии или лучу или любой последовательности), будет приближаться к этому пределу.

Сформулируем некоторые свойства предела функции

1. Если в окрестности точки , то .

2. Если и , то

.

3. в

Вопрос 1.4. Производная. Условия Коши-Римана.

Определение 1.4.1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z. Будем говорить, что функция дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел будем называть производной функции в точке z. Производную функции комплексной переменной будем так же обозначать или более кратко .

Пример. 1.4.1. Вычислить производную функции .

Конец примера.

Определение производной функции комплексной переменной дословно повторяет определение производной функции вещественной переменной. Кроме того, предел функций комплексной переменной обладает многими свойствами пределов функций вещественной переменной. Поэтому на функции комплексного переменного переносятся и правила дифференцирования, доказываемые совершенно аналогично:

1)  , если (производная функции , принимающей в некоторой области постоянное значение, равна нулю.

2) Если две функции и дифференцируемы в точке z, то их линейная комбинация дифференцируема в точке z

.

3) Если две функции и дифференцируемы в точке z, то их произведение дифференцируемо в точке z

.

4) Если две функции и дифференцируемы в точке z, и в точке z, то их частное дифференцируемо в точке z

.

5) 

.

.

Предел, через который вычисляется производная функции , не зависит от закона, по которому приращение аргумента стремится к нулю. На геометрическом языке это означает независимость этого предела от пути, по которому точка стремится к точке z. Таких путей можно выбрать сколь угодно много, поэтому условие дифференцируемости функции комплексной переменной накладывает на функцию больше ограничений, чем условие дифференцируемости функции действительного переменного. Так, если функция имеет производную, то это значит, что существует предел отношения при приближении точки к точке x по двум направлениям: слева (при значении ) и справа (при ), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции комплексной переменной означает существование предела при приближении точки к точке z по любому пути, в частности, по любому лучу, выходящему из точки z, и совпадение этих пределов.

Условия, которым должны удовлетворять действительная и мнимая части дифференцируемой функции комплексного переменного, носят названия условий Коши – Римана. (Эти условия были впервые открыты Ж. Даламбером (1752) и Л. Эйлером (1755) в связи с изучениями гидромеханических задач задолго до того, как О. Коши, а затем и Б. Риман указали на их важность).

Теорема 1.4.1. (Условия Коши – Римана). Если функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой точке, то в точке z существуют частные производные функций и , удовлетворяющие соотношениям

.

Доказательство. Так как при вычислении производной функции комплексной переменной приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом, то положим для начала величину . Тогда и

Пусть теперь . Тогда и

Отсюда, находим

,

Или

.

Конец доказательства.

Условия Коши – Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции комплексного переменного. При некоторых дополнительных ограничениях можно доказать, что условия Коши – Римана являются не только необходимыми, но и достаточными для дифференцируемости функции . Одним из таких дополнительных ограничений является требование дифференцируемости действительных функций и .

Теорема 1.4.2. (Достаточность условий Коши – Римана). Если в точке функции и дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями , то функция является дифференцируемой функцией комплексной переменной в точке .

Доказательство. Для произвольного приращения комплексного аргумента в точке рассмотрим отношение

.

Так как функции двух вещественных аргументов и дифференцируемы, то полные приращения и этих функций в точке можно представить виде

,

где

и .

Подставляя в отношение , получим

.

Из условий Коши – Римана, заменим производную на , а производную на . Тогда получим

Так как , то имеем

Переходя теперь к пределу, получим

,

или

.

Конец доказательства.

Замечание 1.4.1. Если и имеют непрерывные частные производные первого порядка, то они дифференцируемы как вещественные функции двух переменных, и, если их частные производные связаны соотношениями , то из теоремы 1.4.2 следует, что функция является дифференцируемой функцией комплексной переменной в точке .

Пример 1.4.2. Функция дифференцируема, так как частные производные функций и

непрерывны и удовлетворяют соотношения Коши – Римана

.

Тогда,

.

Определение 1.4.2. Функция называется аналитической (регулярной или голоморфной) в точке z, если она определена в некоторой окрестности точки z и дифференцируема в этой точке.