Вопрос 1. Классическая вероятностная схема.

Пусть имеется некоторое конечное пространство элементарных исходов W и пусть все исходы равновероятны. Обозначим число всех элементарных исходов через N. Пусть вероятность любого элементарного исхода равна p. Так как все элементарные исходы являются несовместными случайными событиями, то складывая вероятности всех исходов мы должны получить 1. Таким образом, получаем соотношение Np=1. Отсюда следует, что . Пусть теперь дано некоторое случайное событие A, содержащее элементарных исходов. Опять можно подсчитать вероятность этого события, как сумму вероятностей этих исходов, тогда . Таким получаем следующую формулу .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вероятностное пространство называется классической вероятностной схемой или классическим вероятностным пространством, если вероятность любого случайного события из этого пространства определяется по выше приведенной формуле.

ПРИМЕР 1. Пусть монета подбрасывается два раза подряд и этому опыту соответствует классическая вероятностная схема.

1) Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях выпадет решка хотя бы один раз подряд?

Пространство элементарных событий содержит четыре элементарных исхода. Пусть A - событие, изложенное в условии. Тогда его можно представить так . Поэтому .

2) Какова вероятность того, что выпадет решка первой?

Это событие можно представить так . Тогда .

3) Какова вероятность того, что герб выпадет два раза?

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

Вопрос 2. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической вероятностной схеме.

Пусть вероятностный эксперимент подчиняется классической вероятностной схеме. Тогда, как сказано выше, вычисление вероятности события A приводит к подсчету числа исходов, приводящих к событию A, то есть к N(A) и ее определению простым делением

Этот подсчет делают, пользуясь комбинационными методами. Комбинаторика - это раздел математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов безразлично какой природы. Рассмотрим основные формулы комбинаторики.

1) Число размещений m предметов из n :

Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них m предметов, учитывая порядок в каком выбираются предметы и предлагая, что выбранный предмет удаляется? Число таких способов равно

2) Число перестановок n предметов:

Число таких способов равно Можно сформулировать эту задачу и как нахождение числа n размещений n предметов из n: .

3) Число сочетаний m предметов из n:

Пусть имеется n предметов. Сколькими способами можно выбирать из них m предметов, не учитывая порядок, в котором выбираются предметы, и предполагая, что выбранный предмет удаляется?

Число таких способов равно . Коэффициент называется биноминальным. Его свойства следующие:

4) Число размещений с повторениями.

Пусть даны n предметов. Сколькими способами можно выбрать m предметов из n, учитывая порядок, в котором выбираются m предметы и считая, что выбранный предмет возвращается? Ответ .

5) Число сочетаний с повторениями.

Пусть даны n предметов. Сколькими способами можно выбрать m предметов из n, не учитывая порядок, в котором выбираются предметы и считая, что выбранный предмет возвращается? Ответ: .

При решении вероятностных задач важно выделять эксперименты, в которых можно использовать те или иные комбинаторные формулы.

ПРИМЕР 2. В урне находятся четыре белых и два черных шара. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых шаров один шар оказался черным и два - белыми.

Три шара из шести можно взять способами. Взять же три шара так, что бы один был черный, а два - белыми можно таким числом способов . Следовательно искомая вероятность равна .

КОНЕЦ ПРИМЕРА.