Вопрос 5. Классификация задач по начальным и граничным условиям.

Уравнение теплопроводности имеет бесчисленное множество решений. Для выделения конкретного решения необходимо поставить дополнительные условия. Эти условия разделяют на начальные и граничные или краевые. Для уравнения теплопроводности начальное условие имеет вид

.

Оно определяет начальную температуру точек стержня. Для физической системы конечных размеров нужно так же задать граничные условия. Для уравнения теплопроводности граничные условия задают как правило в виде

Наиболее часто встречаются граничные условия первого рода

второго рода

и третьего рода

Однородные граничные условия первого рода имеют простой физический смысл. Для уравнения теплопроводности они означают, что в точках и концы стержня находятся при нулевой температуре.

Однородные граничные условия второго рода имеют также простой физический смысл. Для уравнения теплопроводности они означают, что в точках и концы стержня теплоизолированы и передачи тепла не происходит.

Если дополнительно к уравнению в частных производных заданы начальные условия, то говорят, что задана задача Коши или начальная задача.

Если дополнительно к уравнению в частных производных заданы граничные (краевые) условия, то говорят, что задана или поставлена граничная (или краевая) задача.

Если дополнительно к уравнению в частных производных заданы начальные и граничные (краевые) условия, то задача называется начально-краевой или смешанной. Тип краевой или смешанной задачи определяется типом граничных условий. Таким образом, смешанная задача первого рода для уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями имеет вид

Начальную задачу для уравнения теплопроводности имеет смысл ставить для бесконечного промежутка , так как тогда граничные явления не могут повлиять на процессы теплопередачи при конечных x. Начальная задача для уравнения теплопроводности ставиться в виде

(28)

ЛЕКЦИЯ N 10

Вопрос 1. Решение задачи коши для одномерного уравнения теплопроводности стержня бесконечной длины.

Пусть дана задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности стержня бесконечной длины

Существует несколько методов решения этой задачи. Например, эту задачу можно было решить операционным методом, выполняя преобразование Лапласа по переменной t. Мы рассмотрим другой метод - метод преобразования Фурье по переменной x. Итак, будем искать решение задачи в виде

Дифференцируя один раз по t и дважды по x и подставляя в уравнение, получим

Приравнивая подинтегральные выражения, получим

Разложим в интеграл Фурье начальное условие

Так как , то очевидно, что . Тогда получаем следующую начальную задачу для образа Фурье

Это начальная задача для однородного обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами. Ее можно решить, разделяя переменные или используя характеристическое уравнение. Выберем второй путь. Тогда составим характеристическое уравнение

отсюда получаем

Из начального условия найдем, что . Тогда

Поэтому

Пусть имеет праобраз , то есть

а имеет праобраз . Тогда произведению соответствует свертка Ф(x) и (смотри лекцию N8), то есть или

Найдем теперь функцию . Для этого продифференцируем интеграл по x

и вычислим его по частям

Таким образом, получаем уравнение для

При x=0, находим

Интеграл называется интегралом Пуассона. Вычислим его способом, предложенным самим Пуассоном

{ перейдем в полярную систему координат } = .

Тогда . Зная теперь значение интеграла Пуассона, получаем для начальную задачу

Разделяя переменные, найдем решение этой задачи

или

или

С учетом начального значения получим и

Поэтому, подставляя в выражение для свертки, получим решение задачи Коши

Полученное решение описывает изменение температуры u точек стержня с течением времени t. При , как следует из формулы, . При имеем . Отметим еще ряд черт этого решения. Температура в точке x определяется начальной температурой во всех точках стержня. Физически это неверно, так как не учитывает конечную скорость распространения физических процессов. Однако, реально температура в точке x определяется только начальной температурой участка стержня длиной

А что касается конечной скорости распространения тепла, то этот факт требует для своего описания замены параболического уравнения на гиперболическое, описывающее волновые явления.

ЛЕКЦИЯ N 11