Вопрос 3. Условные вероятности. Формулы умножения вероятности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть вероятность события . Условной вероятностью события B, при условии что событие A уже наступило, называется величина . Если , то условная вероятность неопределенна.

Рассмотрим смысл данного определения для классической вероятностной схемы. Пусть число всех элементарных исходов равно n. Пусть событию A благоприятствует k исходов, а событию AB - m исходов. Если событие A наступило, то теперь в качестве пространства элементарных исходов естественно взять те k исходов, при которых наступает событие A. То есть число исходов для наблюдения события B сузилось до k. Событие B наступает в том случае, если происходит событие AB, то есть ему благоприятствуют m исходов. В качестве вероятности наблюдения события B при условии, что A наступило возьмем

Таким образом, в классической вероятностной схеме условную вероятность события B при условии наступления события A можно подсчитать следующим образом. Пусть наступлению события A благоприятствует множество событий , содержащее исходов, из которых исходов благоприятствуют наступлению события B. Тогда . Такой метод носит название метода вспомогательного эксперимента, поскольку можно рассматривать как новый вспомогательный эксперимент.

ПРИМЕР 3. Пусть в семье два ребенка. Известно, что хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность того, что это оба мальчика?

Составим пространство элементарных исходов. . Согласно классической вероятностной схеме элементарные исходы равновероятны. Поэтому . Пусть - это событие означает, что хотя бы один ребенок мальчик. Событие B={ММ} - оба ребенка мальчики. Тогда

Решение методом вспомогательного эксперимента.

КОНЕЦ ПРИМЕРА.

Из формулы вытекает, что . Эта формула называется формулой умножения вероятностей. Для условной вероятности справедливы следующие свойства:

1)

2) , если из BÌC

3)

4)

5) Если из A следует B, то

6) Для любых B и C

Для несовместных B и C

7) .

Из этих свойств следует вывод: если A фиксировано, то - удовлетворяет всем свойствам обычной безусловной вероятности.

Л Е К Ц И Я N 14

Вопрос 1. Формула полной вероятности и формула байесса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть дано некоторое вероятностное пространство. Говорят, что случайные события образуют полную группу попарно несовместных событий, если их сумма является достоверным событием

и любые два из них несовместны , если .

События называются гипотезами,

Пусть B некоторое событие. Тогда , но

.

Тогда

.

Отсюда

Тогда, учитывая попарную несовместность, получим

По формуле умножения вероятности получаем

Откуда получаем формулу полной вероятности

Рассмотрим теперь формулу Байесса. Из формулы умножения вероятностей имеем

Из равенства левых частей следует равенство правых частей

Откуда получаем формулу Байесса

Полученная формула носит название формулы Байесса. Если заменить то получаем

Здесь - априорная вероятность гипотезы , - апостериорная вероятность гипотезы при условии наступления события B (a priory - до опыта, a posteriory - после опыта).

Смысл формулы Байесса - если событие B наступило, то формула дает возможность "переоценить" вероятность наступления каждой гипотезы. Особое значение формула Байесса приобретает для тех экспериментов, где сами гипотезы непосредственно не наблюдаемы из-за разрушения объекта, но сами и известны. Такие случаи часто встречаются в медицинской и технической диагностике.

Из формулы Байесса несложно получить теорему Байесса, если подставить в знаменатель формулу полной вероятности

ПРИМЕР 1. На фабрике на машинах A, B и C производят 25%, 35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет 5%, 4% и 2% соответственно. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было сделано на машине A, B и C. Пусть - события, состоящие в том, что взятое случайно изделие оказалось бракованным. Тогда ; ; . Причем и эти события попарно несовместны. Пусть D - событие, состоящее в том, что случайно взятое изделие оказалось бракованным. По формуле полной вероятности, получим

но

(т.е. 5% всех изделий машины A браковано)

Тогда по формуле полной вероятности, получаем

КОНЕЦ ПРИМЕРА.