49. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения мат. Ожидания и дисперсии)

 08 января 2008   Манакова Юля 

Равномерное: M(X) = ин-л от – беск-ти до + беск-ти xf(x) dx = ин-л от а до в x * 1\b-a dx= 1\b-a * x^2\2│от а до в = a +b\2. D(X) = ∫ от a до b x^2*1\b-a dx – (a+b\2)^2 = ((b-a)^2)\12 Показательное: M(X)= ∫ от 0 до ∞ (xλ e^-λx)dx = -xe^-λx│+ ∫ от 0 до беск (e^-λx)dx= 1\λ(e^-λx)| = 1\λ. D(X) = ∫ от 0 до беск (x^2 * λe^-λx) dx – 1\(λ^2) = - (x^2) e^-λx| +2 ∫ x e ^-λx dx = 1\x^2 Нормальное: M(X) = (1\σ *корень из 2π) )∫от -∞ до ∞(x*е^( - (x-a)^2\2 σ^2))dx = (1\корень из 2п)∫от -∞ до ∞(tσ+α)e^(-t^2\2)dt = (σ\корень из 2п)∫ t e^(-t^2\2)dt (это =0) = α\корень из 2п )∫ e^(-t^2\2)dt = a. D(X) = (1\σ *корень из 2π) )∫от -∞ до ∞(x-a)^2* e^( - (x-a)^2\2 σ^2) = σ^2.

 13 января 2008   Прохорова Светлана 

Функция двух переменных F(x,y)= P[(ξ1<x),( ξ2<y)] определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин (ξ1, ξ2). Своства: 1) F(x;y) € [0;1] 2) Если х2>x1, то F(x2;y)≥F(x1;y) Если y2>y1, то F(x;y2)≥А(x,y1) 3) F(-∞,-∞)=0 F(+∞,+∞)=1 F(-∞;y)=0 F(x; -∞)=0 4) F(∞;y) = P(ξ<∞;η<y) = P(η<y)=Fη(y) F(x; ∞) = P(ξ<x; η<∞) = P(ξ<x)= Fξ(x)

 08 января 2008   Манакова Юля 

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вер-ти) непрерывной двумерной СВ называют вторую смешанную производную от ф-ции распределения: f(x, y) =(∂^2 F(x,y)) \ ∂x∂y Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вер-ти попадания случ точки в прямоугольник со сторонами ∆х и ∆у к площади этого прямоугольника, когда обе стороны стрем-ся к 0; геометрически – это поверхность, кот назыв поверхность распределения. Ф-ция распределения F(x, y) = ∫от - ∞до у ∫-∞ до х f(x, y) dx dy. Св-ва: 1) f(x,y)>=0 2) ∫от - ∞до ∞ ∫-∞ до ∞ f(x, y) dx dy.= 1

 08 января 2008   Манакова Юля 

Корреляционным мом-том kxy СВ X и У назыв мат ожидание произведения отклонения этих в-н = M((X – M(X))(Y – M(Y)). Для ДСВ используют ф-лу: = ∑(от i=1 до n)∑( от j=1 до m) ( xi – M(X))(yi – M(Y)) p(xi,ui). Для НСВ: = ∫от - ∞до ∞ ∫-∞ до ∞ ( x – M(X))(y – M(Y)) f(x, y) dx dy. Кор мом-т служит для хар-ки связи м\у в-нами Х и У. если он равен 0 , то Х и У – зависимые в-ны. Ком мом-т 2х независимых СВ Х и У =0. Док-во: т.к. Х и У независимые, то и их отклонения Х – M(X) и У – M(Y) тоже независимы. Пользуясь св-вами мат ожидания ( мат ожидание призведения независимых СВ = призведению мат ожиданий сомножителей) и отклонения (мат ожидание отклонения = 0), получим: kxy = М((Х – M(X))(У – M(Y)) = М(Х – M(X)М(У – M(Y))=0 В-на кор мом-та зависит от ед измерения СВ. Поэтому для одних и тех же 2х в-н в-на кор мом-та имеет различ значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены в-ны.

 08 января 2008   Манакова Юля 

Коэффициентом корреляции rxy СВ Х и У называют отношение корреляц мом-та к произведению средних квадратич отклонений этих в-н. rxy = kxy\ σхσу. В-на коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения СВ. Коэффициент корреляции независимых СВ = 0. Абсолютная в-на коэф коррел-ции не превышает 1: | rxy| <=1. Док-во: Введём случ в-ну z1= σх X- σуY и найдём её дисперсию D(z1) = M(z1 – mz1)^2, получим: D(z1) = 2 σх ^2σу ^2- 2σхσу kxy. Любая дисперсия неотрицательна, поэтому 2 σх ^2σу ^2- 2σхσу kxy >=0. Отсюда kxy <= σхσу. Веля СВ z2= σх Y- σуX , аналогично найдём kxy >= - σхσу. Получается - σхσу <= kxy <= σхσу. Разделим обе части нер-ва на произведение положительных чисел σхσу : -1 <= kxy<= 1.