68. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, состоятельность, эффективность (определения)

 12 января 2008   Макравина Анастасия 

. Несмещенность — свойство оценок при фиксированном  n. Означает это свойство отсутствие ошибки «в среднем», т.е. при систематическом использовании данной оценки.

Свойство состоятельности означает, что последовательность оценок приближается к неизвестному параметру при увеличении количества данных. Понятно, что при отсутствии этого свойства оценка совершенно «несостоятельна» как оценка.

 12 января 2008   Макравина Анастасия 

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки .

Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию.

Несмещенность оценки еще не гарантирует получения хорошего приближения для оцениваемого параметра, так как возможные значения  могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия  может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например , может оказаться значительно удаленной от среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

 13 января 2008   Прохорова Светлана 

Выборочное среднее. Пусть X1, …,Xn - выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P). Тогда её выборочным средним называется случайная величина n неХ=1/n∑Xi i=1 Свойства: Выборочное среднее - несмещённая оценка теоретического среднего: E[неХ]=E[Xi], i=1,…,n Выборочное среднее - сильно состоятельная оценка теоретического среднего: неХ→ E[Xi] почти наверное при n→∞ Выборочное среднее - асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин Xi конечна и ненулевая, то есть D[Xi]=σ2<∞, σ2≠0, i=1,…,n Тогда √n(неХ-Е[X1]) → N(0, σ2) по распределению при n→∞, где N(0,σ2) - нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ2. Выборочное среднее из нормальной выборки - эффективная оценка её среднего. Выборочная дисперсия. Выборочная дисперсия - это случайная величина n n n Sn2=1/n∑ (Xi-неХ)2=1/n∑ (Xi2-(1/n∑Xi)2 i=1 i=1 i=1 где символ неХ обозначает выборочное среднее. Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина n S2=1(n-1) ∑ (Xi-неХ)2 i=1 Свойства: Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть F(x) - выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного ώ € Ώ функция F(ώ ,x) является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна Sn2(ώ). Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если [Xi]=σ2<∞, то Sn2→ σ2 и S2→ σ2, где → обозначает сходимость по вероятности. Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая: E[Sn2]=(n-1)/n σ2 ,и E[S2]=σ2. Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть Xi~N(μ,σ2), i=1,2,… Тогда (n-1)S2/ σ2=n (Sn2)/ σ2 ~ χ2(n-1)