55. Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа

 08 января 2008   Манакова Юля 

Теорема: если вер-ть р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то Рn(k) того, что соб-е А появ-ся в n испытаниях ровно k раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше n) зн-ю ф-ции Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(z). Здесь Фи(z)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, z=k – np/(корень из npq).Док-во: Рn(k) = P(k<=k<k+1) = 1\корень из 2п ∫(от z1 доz2) e^(-z^2\2)dz = (z2-z1)e^(-z^2\2)\корень из 2п = 1\корень из npq * φ(z)

 12 января 2008   Лазарева Юлия 

 13 января 2008   Прохорова Светлана 

Частость μ/n сходится по вероятности к вероятности: μ/n →p Если вероятность успеха в каждом из n независимых испытаний постоянно и равно p, то имеет место следующее предельное равенство: limn→∞P{|m/n-p|≤ε}=1, где m – количество успехов в n испытаний.

 10 января 2008   Иванова Мария 

 10 января 2008   Иванова Мария 

Первое неравенство Чебышёва

Пусть X — неотрицательная случайная величина (то есть для любого ). Тогда для любого положительного числа a справедливо неравенство .

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что (9)

.

Для всех слагаемых в правой части , поэтому (10)

. Из (9) и (10) следует требуемое.

[править] Второе неравенство Чебышёва

Пусть X — случайная величина. Для любого положительного числа a справедливо неравенство

.

Это неравенство содержалось в работе П. Л. Чебышёва «О средних величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в последовавшем году.

Для доказательства второго неравенства Чебышёва рассмотрим случайную величину Y = (X − M(X))². Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа b, как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим b = a². Событие совпадает с событием , а потому

,

что и требовалось доказать.

 10 января 2008   Иванова Мария 

Неравенство Чебышёва позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы  части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_k попарно независимы и существует число С такое, что D(X_i)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного  выполнено неравенство

   (11)

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Y_k = Х₁ + Х₂+…,+  Х_k и Z_k = Y_k/k. Тогда согласно утверждению 10

М(Y_k) = М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_k), D(Y_k) = D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_k).

Из свойств математического ожидания следует, что М(Z_k) = М(Y_k)/k, а из свойств дисперсии - что D(Z_k) = D(Y_k)/k². Таким образом,

М(Z_k) ={М(Х₁)+М(Х₂)+…+М(Х_k)}/k,

D(Z_k) ={D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_k)}/k².

Из условия теоремы Чебышёва, что 

Применим к Z_k второе неравенство Чебышёва. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.

Эта теорема была получена П.Л.Чебышёвым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышёва.