75. Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?

 12 января 2008   Лазарева Юлия 

Для значимых параметров связи имеет смысл найти интервальные оценки.

При определении с надежностью γ доверительного интервала для значимого парного или частного коэффициентов корреляции ρ используют Z-преобразование Фишера и предварительно устанавливают интервальную оценку для Z

Z' - tγ

где t_γ вычисляют по таблице интегральной функции Лапласа из условия

Φ(t)=γ

Значение Z' определяют по таблице Z - преобразования (табл. 6 приложения) по найденному значению r. Функция нечетная, т. е.

Z'(-r) = -Z'(r).

Обратный переход от Z к ρ осуществляют также по таблице Z - преобразования, после использования которой получают интервальную оценку для ρ с надежностью γ :

r min ≤ ρ ≤ r max

Таким образом, с вероятностью γ гарантируется, что генеральный коэффициент корреляции ρ будет находиться в интервале (r min, r max). 

 11 января 2008   Александрова Ольга 

 11 января 2008   Александрова Ольга 

 11 января 2008   Александрова Ольга 

 11 января 2008   Александрова Ольга 

Пусть  то , где e – ошибка выборочного исследования.

Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра.

1. Требуемый доверительный уровень, который влияет на величину Z, являющуюся критическим значением стандартизованного нормального распределения.

2. Приемлемую ошибку выборочного исследования e.

3. Стандартное отклонение

 11 января 2008   Александрова Ольга 

 Метод моментов

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Поэтому мы начнем с обсуждения этих понятий.

Пусть -- независимая выборка из распределения , зависящего от неизвестного параметра Теоретическим моментом i-го порядка называется функция где -- случайная величина с функцией распределения Особо отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров, коль скоро распределение зависит от этих параметров. Будем считать, что математические ожидания существуют, по крайней мере, для Эмпирическим моментом i-го порядка называется  Отметим, что по своему определению эмпирические моменты являются функциями от выборки. Заметим, что  

-- это хорошо нам известное выборочное среднее.

Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:

1. явно вычислить теоретические моменты , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных

(35)

2.

3. В этой системе  рассматриваются как фиксированные параметры

4.  решить систему  (35) относительно переменных Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от

Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

Метод наибольшего правдоподобия

Пусть как и прежде -- независимая выборка из распределения с функцией распределения зависящей от неизвестного параметра  Определим функцию правдоподобия, полагая    если  -- абсолютно непрерывна и имеет плотность либо  если  есть функция распределения некоторой дискретной случайной величины причем   

Переменные   следует считать основными для функции L, а -- дополнительными параметрами. Считая фиксированными, найдем точку в которой функция правдоподобия принимает наибольшее значение. Понятно, что эта точка будет зависеть от заранее фиксированной выборки следовательно, мы получим набор функций от выборки: (36) 

что и будет искомой оценкой по методу наибольшего правдоподобия.

Сформулируем вышесказанное в виде формального определения.

Определение 6.6  

Функция от выборки (36) называется оценкой наибольшего правдоподобия (о.н.п.), если

 12 января 2008   Макравина Анастасия