62. Понятие оценок числовой характеристики или параметра случайной величины. Свойства оценок

 13 января 2008   Прохорова Светлана 

Оценкой числовой характеристики или параметра Ө CВ называется функция от выборочных значений Õ(х1, …, хn), которая в определенном смысле «близка» к истинному значению Ө. Свойства: Состоятельность. Оценка Õ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к иснтинному значению (индекс n обычно опускается, но подразумевается по умолчанию): Õn → Ө Свойство состоятельности является обязательным для оценки, несостоятельные оценки не используются. Несмещенность. Оценка Õ называется несмещенной, если ее матожидание равно истинному значению: МÕ= Ө Это свойство желательно, но необязательно. Эффективность. Оценка Õ называется эффективной в определенном классе оценок Õ, если она самая точная среди оценок этого класса, т.е. имеет минимальную дисперсию: DӨ*=min DÕ

 13 января 2008   Прохорова Светлана 

Оценкой генеральной средней является выборочная средняя. k неξв=(∑ξini)/n i=1

 12 января 2008   Иванова Мария 

Одним из свойств выборочного среднего арифметического является то, что сумма квадратов отклонений значений признака от среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины (в том числе и от генерального среднего ), т.е.  для любой выборки. Поэтому вычисление оценки дисперсии по формуле  будет содержать систематическую ошибку, и такая оценка будет смещенной.

Можно показать, что если использовать , то она будет несмещенной, т.е. при неограниченном повторении выборки из генеральной совокупности и усреднении выборочной дисперсии, полученной на основании этой формулы, по всем выборкам получается истинное значение генеральной дисперсии.

 12 января 2008   Лазарева Юлия 

Точечные и интервальные оценки.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов – ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.  ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА – оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:     

X = (x₁+x₂+…+x_n)/n,

     где: X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);      x₁,x₂,…x_n – выборочные значения; n – объем выборки.      ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.      Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует – ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.     Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

     Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X – T(ν,P)*S/(n)^1/2

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

где: X_min, X_max – нижняя и верхняя границы интервала;     X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);     n – объем выборки;     T(ν,P) – поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ – X)² + (x₂ – X)² + … + (x_n – X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X