60. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда

 12 января 2008   Лазарева Юлия 

Математическая статистика - наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить, как совокупность значений, принятых в результате n опытов случайной одномерной или многомерной величиной.

Генеральной совокупностью опыта называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины Х. Количество (N) входящих в генеральную совокупность объектов называют объемом генеральной совокупности. Она может состоять из бесчисленного множества объектов. 

Выборка - множество {Х1, Х2, ...., Хn} случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называют число входящих в нее объектов. К выборке предъявляется требование, чтобы она адекватно представляла генеральную совокупность, т.е. была репрезентативной, если ее осуществлять случайно, т.е. каждый из объектов генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку. Очевидно, что можно осуществить в одинаковых условиях k выборок объема n и получить различные совокупности значений случайной величины Х: {Х1^(1),...,Хn^(1)},{Х1^(2),...,Хn^(2)}, ..., {Х1^(k),...,Хn^(k). Пусть для генеральной совокупности опыта случайная величина Х имеет функцию распределения F(x), тогда каждую из выборок {Х1^(1),...,Хn^(1)},{Х1^(2),...,Хn^(2)}, ..., {Х1^(k),...,Хn^(k) можно рассматривать, как реализация n-мерной случайной величины (Х1,...,Хn), где составляющая Хi, i=1, ... , n , есть значение величины Х в i-ом опыте. Очевидно, что все составляющие Хi будут иметь одинаковый закон распределения F(x). Так как компоненты Хi независимы, то функция распределения n-мерной случайной величины (Х1, Х2, ... ,Хn) определяется формулой: F(x1, x2, ..., xn) = F(x1)F(x2)...F(xn)

Вариационным рядом называется выборка {â1, â2, ..., ân}, полученная в результате разложения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения âi называются вариантами.

Одной из главных задач математической статистики является определение закона распределения случайной величины Х. 

 11 января 2008   Преображенская Танюша 

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x) , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Та-ким образом, по определению F*(x)= Nx/N, где Nx–число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Свойства:

1)Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1]. 2)неубывающая функция. 3)Если x – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при x<=Xk , если x– наибольшая варианта, тоF*(x)=1 при x>Xk. Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной сово-купности.