3. Графический метод

Зависимость между индивидуальными значениями стажа работы и оплаты труда можно наглядно увидеть, если построить график, отложив на оси абсцисс ранжированные значения факторного признака (x_i), а на оси ординат – соответствующие им значения результативного признака (y_i). Нанеся на график точки, соответствующие значениям x_i и y_i, получим корреляционное поле:

а) если точки беспорядочно разбросаны по всему полю, то зависимость между признаками отсутствует;

б) если точки концентрируются вокруг оси, идущей от нижнего левого угла в верхний правый, то имеется прямая зависимость между признаками;

в) если точки концентрируются вокруг оси, идущей от верхнего левого угла в нижний правый, то имеется обратная зависимость между признаками.

Корреляционное поле строится и для наглядного представления данных корреляционной таблицы: на оси абсцисс откладываются сгруппированные значения факторного признака (x_j или ), а на оси ординат – средние значения результативного признака (). Соединив точки прямыми линиями, получают эмпирическую линию регрессии (эмпирическую линию связи).

Как правило, строят в одних координатных осях корреляционное поле индивидуальных значений результативного признака и эмпирическую линию регрессии средних значений результативного признака.

Пример. На основании таблиц 8.1 и 8.2 построим в одних координатных осях корреляционное поле индивидуальных значений результативного признака и эмпирическую линию регрессии средних значений результативного признака (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Корреляционное поле зависимости индивидуальных значений уровня оплаты труда от стажа работы, эмпирическая линия регрессии групповых средних

Сгущение точек корреляционного поля имеет тенденцию к росту от левого нижнего угла в правый верхний. Эмпирическая линия регрессии явно возрастает. Следовательно, имеется прямая корреляционная зависимость между факторами: стажем работы и уровнем оплаты труда.

4. Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ осуществляется в 4 этапа:

1 этап. Расчет дисперсий на основании корреляционной таблицы, представляющей собой аналитическую группировку:

- общая дисперсия – характеризует вариацию результативного признака (у) от всех влияющих на него факторных признаков. Она не зависит от группировки и ее удобно вычислить по индивидуальным значениям признака у_i с помощью формулы (6.12):

;

- межгрупповая дисперсия – характеризует вариацию результативного признака (у) от факторного признака, положенного в основание группировки (х), вычисляется по формуле (6.13):

;

- групповые дисперсии и средняя из групповых – характеризуют вариацию результативного признака (у) от всех факторных признаков, кроме признака, по которому построена группировка (х), формула (6.14):

; .

2 этап. Оценка тесноты связи с помощью ряда показателей:

1. Дисперсионное отношение – характеризует удельный вес вариации, связанной с группировочным признаком. Выражается в процентах и показывает, на сколько процентов вариация факторного признака определяет вариацию результативного:

.

2. Эмпирическое корреляционное отношение – характеризует тесноту корреляционной зависимости, т.е. степень ее приближения к функциональной связи:

.

Эмпирическое корреляционное отношение принимает значения от 0 до 1, при этом, если:

ŋ = 0, то все групповые средние равны, межгрупповой вариации нет (²=0) и признак х не оказывает никакого влияния на признак у;

η = 0,1…0,3 – связь между признаками практически отсутствует;

η = 0,3…0,5 – связь слабая;

η = 0,5…0,7 – связь умеренная.

η = 0,7…0,99 – связь сильная (тесная).

при η = 1 внутригрупповой вариации нет (²= ), следовательно, вариация признака у полностью определяется вариацией признака х. Связь функциональная, т.е. результативный признак изменяется только в зависимости от изменения признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю.

3 этап. Проверка существенности связи.

Для этой цели может быть использован критерий Фишера:

,

где – межгрупповая дисперсия;

– дисперсия средняя из внутригрупповых;

v₁ и v₂ – число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом

v₁= m-1;

v₂=n-m;

m – число групп;

n – число наблюдений.

Полученные значения F_расч сравниваются с критическими значениями (табличными) F_кр: если F_расч  F_кр , то существенность связи подтверждается.

Критические значения даны для двух уровней значимости =0,05 и =0,01, характеризующих вероятность гипотезы отсутствия связи.

Пример. На основании таблиц 8.1, 8.2 осуществим дисперсионный анализ связи между стажем работы и уровнем оплаты труда рабочих предприятия:

1 этап. Расчет дисперсий:

- общая дисперсия:

- межгрупповая дисперсия :

- средняя из внутригрупповых:

. В расчет средней из внутригрупповых дисперсий входит шесть внутригрупповых дисперсий :

Тогда средняя из внутригрупповых дисперсий равна:

Проверим правило сложения дисперсий:

+= 0,483+0,101=0,584 (верно).

2 этап. Оценка тесноты связи:

1. Дисперсионное отношение равно:

– таким образом, вариация результативного признака (размера заработной платы) на 82,7% определяется воздействием факторного признака (стажа работы).

2. Эмпирическое корреляционное отношение показывает, что связь между признаками тесная:

– связь тесная.

3 этап. Проверка существенности связи с помощью критерия Фишера:

22,95 ,

где – межгрупповая дисперсия;

– дисперсия средняя из внутригрупповых;

v₁ и v₂ – число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом

v₁= m-1;

v₂=n-m;

m – количество интервалов в аналитической группировке;

n – число наблюдений.

В данном примере для =0,05 критическое значение критерия Фишера, находящееся на пересечении v₁= 5 столбца и v₂=24 строки таблицы приложения 1, составляет F_кр =2,62. Поскольку F_расч > F_кр , то связь между признаками неслучайная (существенная).