Приклад 2

Судно від причалу рухається по курсу прямолінійно, збільшуючи свій шлях пропорційно кубові часу: в секундах, в метрах. Протягом першої хвилини воно пройшло шлях . Знайти швидкість і прискорення при .

Розв’язання

Судно рухається поступально, отже досить вивчити рух будь-якої точки судна.

Перед усім визначаємо коефіціент з закону руху . Для цього скористаємося тим, що протягом першої хвилини судно, як точка, пройшло шлях , звідси:

,

Отже:

.

Швидкість знайдемо за формулою:

Щоб знайти швидкість у момент , підставимо це значення у вираз швидкості. Дістанемо:

.

Оскільки за умовою задачі рух відбувається по прямій, то:

.

При .

Відповідь: .

Кінематика твердого тіла Найпростіші рухи твердого тіла

а) Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

1. Шків обертається рівномірно навколо нерухомої осі. Швидкість точки А шківа 0,18 м/с, а її відстань від осі обертання 0,03 м. Знайти кут, на який повернеться шків за одну хвилину, а також швидкість і прискорення точки В шківа, відстань якої від осі дорівнює 0,12 м.

Відп.: φ = 360 рад; ν_В = 0,72 м/с; а_В= 4,32 м/с².

2. Вал обертається із сталим кутовим прискоренням ε = π/4 рад/с². За перші 12 с він зробив 39 обертів. Знайти кутову швидкість вала в початковий момент і в кінці 20-ї секунди.

Відп.: ω₀ = 5π рад/с ; ω = 10 π рад/с.

3. Маховик після пуску в хід обертається рівноприскоренно з кутовим прискоренням ε = 5π рад/с². Визначити кутову швидкість маховика в кінці 10-ї секунди після початку руху і число обертів, яке зробив маховик за цей час.

Відп.: ω =50π рад/с; N = 125 обертів.

Приклад

Гребний гвинт судна, що мав кутову швидкість ω₀ = 20π рад/с, зупиняється через 20 с внаслідок опору води і тертя в підшипниках. Вважаючи обертання гвинта рівнозмінним, визначити прискорення і число обертів гвинта до зупинки.

Розв’язання

Тому що обертання гвинта є рівнозмінним, користуємося відповідними формулами, тобто, прийнявши φ₀=0, маємо:

ω=ω₀+εt;

φ= ω₀t+ .

Відповідно до умов завдання одержимо:

0=ω₀+εT;

φ= ω₀T+ .

де Т – час обертання гвинта до зупинки.

Звідси знайдемо:

ε = = π рад/с²;

φ = = 200 π рад.

У процесі обертання ω і ε мають різні знаки, тому обертання є сповільненим. До зупинки гвинт зробив:

N = φ/2π = 100 обертів.

Відповідь: N = 100 обертів.

б) Перетворення найпростіших рухів тіла

4. Шків В і вал С жорстко з’єднані між собою і насаджені на одну вісь (рис. 21). Через шків В і А перекинутий нескінченний пас, а на вал С намотана мотузка, до кінця якої прикріплений вантаж М. Шків А обертається із сталим кутовим прискоренням ε = 2 рад/с² без початкової кутової швидкості. Радіуси шківів А, В і вала С відповідно дорівнюють 10 см, 20 см і 5 см. Знайти рівняння руху вантажу М.

Відп.: h =5/2 t²см.

5. Під час обертання рукоятки О₁А домкрата (рис. 22) частини його механізму приходять у рух і зубчаста рейка переміщається по вертикалі. З якою кутовою швидкістю треба обертати рукоятку домкрата, щоб рейка ВС переміщалася зі швидкістю 0,5 см/с? Числа зубців шестерень: z₁ = 5, z₂ = 20, z₃ = 5, z₄ = 25. Радіус 5-ї шестерні r₅ = 3 см.

Відп.: ω = 3,33 рад/с.

2.

Рис. 21 Рис. 22