Координати центра ваги твердого тіла

1. Визначити положення центра ваги площі фігури (рис. 13), що складається з квадрата і рівностороннього трикутника зі сторонами а.

Відп.: х_с = а/2; у_с = 0,738а.

Рис. 13

2. Знайти положення центра ваги площі фігури (рис. 14). Розміри подано в сантиметрах.

Відп.: x_c = 5,6 cм.

Рис. 14

3. Знайти координати центра ваги пластинки (рис. 15), розміри якої подано в сантиметрах.

Відп.: х_с=3,7 см; у_с= 7,7 см.

Рис. 15

4. Визначити положення центра ваги ферми, що складається з дев'яти однорідних стрижнів (рис. 16).

Відп.: х_с= 1,414а см; у_с= 0,443а см.

Рис. 16

5. Визначити положення центра ваги транспортира (рис. 17), розміри якого а = 14 см, b = 3 см, R = 6 см, r = 4 см.

Відп.: х_с = 0; у_с = 0,522 см.

Рис. 17

6. Судно водозаміщенням 9000 т. Має центр ваги в точці з координатами х_с = -4,2 м; у_с = 0; z_с= 8,4. (Вісь ох напрямлена у ніс, вісь оу – до лівого борту, вісь оz – вгору). З судна забрали частину вантажу масою 300 т, координати центра ваги якого х₁ = 6 м; у₁ = 0,8 м; z₁ = 6 м. Визначити нові координати центра ваги судна.

Відп.: х₂ =-4,55 м, у₂ =- 0,03 м, z₂ = 8,5 м.

Рекомендації до розв’язання задач

При розв’язанні задач на визначення положення центра ваги однорідного твердого тіла істотну роль відіграє вдалий вибір осей координат.

Якщо у твердому тілі є площина симетрії, то одну з осей координат, наприклад x, варто напрямити перпендикулярно до цієї площини, тому що центр ваги лежить у площині симетрії, тобто в площині ху, і залишається визначити тільки дві координати.

Якщо у твердому тілі є вісь симетрії, то одну з координатних осей, наприклад y, варто сполучити з віссю симетрії, тому що центр ваги лежить на осі симетрії, тобто на осі х і залишається визначити тільки одну координату.

Найпоширенішим прийомом розв’язання таких задач є уявне розбиття однорідного твердого тіла на такі частини, положення центра ваги кожної з яких відомі, або легко може бути визначено.

Приклад

Визначити положення центру ваги площини плоского перерізу, який має вертикальну вісь симетрії. Розміри плоскої фігури задані в метрах.

Знайти: Х_С, Y_С.

Рис. 18

Розв’язання

Координати центра ваги площі:

Х_С = ;

У_С = .

Визначимо площу фігури, яка складена з трикутника F₁ і прямокутника F₂:

S₁ = ah = ∙0,2∙0,38 = 0,038 м² – площа трикутника;

S₂ = 0,18∙0,15 = 0,027 м² – площа прямокутника.

Центри ваги фігур:

трикутника Х₁ = 0,190 м, Y₁ = 0,2167 м;

прямокутника Х₂ = 0,19 м, Y₂ = 0,075 м.

номер фігури	Sі, м2	Хі, м	Yі, м
1	0,038	0,190	0,2167
2	0,027	0,0190	0,075
сума	0,065

Х_С = = = 0,190 м;

Y_С = = = 0,1578 м.

Відповідь: Х_С = 0,19 м; Y_С = 0,1578 м.

Сила тертя ковзання. Формула Ейлера

1. На нерухомий циліндр (кнехт) намотано канат, до одного кінця якого прикладено натяг судна силою . Скільки разів треба обмотати канат навколо кнехта, щоб натяг каната можна було утримати силою , прикладеною до другого кінця каната?

Кінці канату паралельні (рис. 19) коефіцієнт тертя каната по кнехту дорівнює μ.

Рис. 19