Динаміка Динаміка матеріальної точки Перша пряма основна задача динаміки матеріальної точки

1. Матеріальна точка вагою 0,49 Н коливається вздовж прямої згідно з рівнянням х = 8 sin 2t м. Знайти силу, яка діє на точку в ті моменти часу, коли її координата х = - 5 м.

Відп.: 1 Н і напрямлена до початку координат.

2. Матеріальна точка вагою 1,96 Н рухається по прямій згідно з рівнянням х = 10t² + 2t + 3( м). Знайти силу, що діє на точку.

Відп.: 4 H.

3. Матеріальна точка масою 0,3 кг рухається згідно з рівняннями:

х = 3 cos πt см; у = 3 sin πt см; z = 5t см.

Визначити силу, яка діє на цю точку.

Відп.: ; cos(,x) = - cos πt; cos(,y) = - sin πt;

cos (, z) = 0.

4. Точка вагою 100 H рухається в площині хОу згідно з рівняннями:

x = 20 sin² π/2 t м;

у = 20 cos² π/2 t м.

Визначити силу, під дією якої точка рухається.

Відп.: F = 14,2 cos πt H, напрямлена вздовж прямої х + у = 20.

5. Точка вагою 196 H рухається згідно з рівняннями:

х = 75 cos 4t² м; y = 75 sin 4t² м.

Визначити силу, що діє на цю точку.

Відп.: H; ,

де α — кут між дотичною до кола x² + у² = 75² і силою F.

Основні рекомендації до розв’язання задач

1. Зобразити на схемі матеріальну точку в поточному положенні і прикладені до неї сили;

1. вибрати систему відліку, якщо вона не зазначена в умові завдання;

2. визначити за заданим законом руху прискорення матеріальної точки і знайти його проекції на обрані осі координат;

3. скласти диференціальні рівняння руху матеріальної точки, що відповідають прийнятій системі відліку;

4. із системи складених рівнянь визначити шукану величину.

Якщо при розв’язанні прямої задачі динаміки матеріальної точки потрібно визначити рівнодіючу сил, прикладених до цієї точки, то розв’язання зводиться до диференціювання заданих рівнянь руху точки.

Приклад

Вантаж А спускається униз по негладкій похилій площині, розташованій під кутом α до обрію, рухаючись відповідно до рівняння x = bgt² , де g –прискорення сили ваги, а b — постійний коефіцієнт. Визначити модуль сили тертя ковзання вантажу об площину.

Дано:

x = bgt², Р, g,

F_тр-?

Рис. 33

Розв’язання

Вагу вантажу А позначимо Р. До вантажу прикладені три сили: вага вантажу Р і дві складові R і F_тр сили реакції похилої площини. Нормальна реакція R, спрямована перпендикулярно до похилої площини, а сила тертя ковзання F_тр — у сторону, протилежну руху вантажу, тобто уздовж похилої площини нагору.

Складемо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на вісь х.

т=Р sin α — F_тр. (1)

Тому що x = bgt², то = 2bg. Маса вантажу дорівнює т = Р/g. Тепер рівняння (1) приймає вигляд:

2b=P sin α — F_тр,

звідки визначаємо шукану величину сили тертя ковзання F_Tp вантажу об похилу площину:

F_тр = P(sin α - 2b).

Відповідь: F_тр = P(sin α - 2b).

Друга обернена основна задача динаміки матеріальної точки

1. На матеріальну точку масою 0,2 кг, що рухається вздовж горизонтальної осі Ох, діє стала сила F = 2 Н. У початковий момент х₀ = 3 м і v₀ = 4 м/c. Скласти рівняння руху точки.

Відп.: x = (5t² + 4t + 3) м.

2. На матеріальну точку масою 0,1 кг, що рухається по горизонтальній прямій із швидкістю 5 м/с, з деякого моменту починає діяти стала сила опору F. Чому дорівнює ця сила, якщо точка пройшла до зупинки 1 м від того місця, де почала діяти сила опору.

Відп.: F = 1,25 Н.

3. Дрезина рухається на горизонтальній прямолінійній ділянці шляху зі швидкістю 90 км/год. У якийсь момент часу двигун вимикають. Вважаючи, що опір руху сталий і дорівнює 0,2 ваги дрезини, визначити час до її зупинки і шлях, який вона пройде від місця вимикання двигуна.

Відп.: t = 12,7 c, s = 159 м.

4. Проекції сили, що діє на матеріальну точку масою m, дорівнюють F_x= 8 т; F_y = 0. У початковий момент х = 0; у = 0; v_x = 0; v_y = 3. Площина хОу — горизонтальна. Знайти траєкторію точки.

Відп.: у² = 9/4 х.

5. Яку початкову швидкість v₀ легкоатлет має надати ядру, щоб кинуте з висоти 2 м над землею під кутом 45° до горизонту, воно пролетіло відстань 18 м? Опором повітря знехтувати.

Відп.: v₀ = 12,6 м/с.