Центр мас механічної системи Теорема про рух центра мас

1. У човні вагою Q на спокійній воді почали одночасно переміщатися від лав до корми двоє людей вагою Р₁ і Р₂. Їх переміщення відносно човна дорівнюють l₁ і l₂ відповідно. Нехтуючи опором води, визначити переміщення човна.

Вiдп.: .

2. Людина, сидячи в човні, почала тягти до себе канат, до якого прикріплено пліт вагою 200 кH. Початкова відстань між човном і плотом 8 м. Якою буде відстань між ними, якщо пліт пройде по воді назустріч човну 3 м? Вага людини і човна 150 кH. Опір води не враховувати.

Відп.: 1 м.

Рис. 37

3. Через блоки А, В, С (рис. 37), прикріплені до призматичного тіла М вагою Р, перекинуті нитки. До кінців ниток прикріплені вантажі М_1, М₂, М₃, М₄ вагою відповідно P₁, P₂, P₃, P_4. Вантаж М₁ перемістився по похилій площині вниз на відстань l. Визначити відстань, на яку по гладенькій горизонтальній площині переміститься призматичне тіло. Кути α, β, γ задані. Вагою блоків і ниток знехтувати.

Відп.: .

Призма переміститься вправо.

4. Однорідний стрижень АВ довжиною l дотикається кінцем В до гладенької горизонтальної підлоги. Кінець А стрижня, піднятий на висоту h над підлогою, відпускають із стану спокою, і стрижень падає на підлогу. На яку відстань переміститься при цьому кінець В стрижня?

Відп.: На відстань .

5. Однорідна тригранна призма, основа якої має форму рівностороннього трикутника зі стороною а, поставлена так, що одна її грань вертикальна, а ребро дотикається до гладенької горизонтальної підлоги. Призма падає на підлогу під дією власної ваги. Наскільки при цьому переміститься ребро, на яке спиралася призма?

Відп.: На відстань .

Рекомендації до розв’язання задач

1. Зобразити на малюнку всі зовнішні сили системи;

1. вибрати систему координат;

3) записати рівняння про рух центра мас матеріальних точок системи сил, які входять до системи, таким чином, щоб сума добутків мас точок на вектори їхніх переміщень дорівнювала нулю;

4) обчислити з рівняння руху центра мас шукане переміщення.

Приклад 1

Через блок, що закріплений до призматичного тіла вагою Р, перекинута нитка до кінців якої закріплені грузи А і В з відповідними вагами Р₂ і Р₁ (рис. 38). Спочатку вся система знаходиться в стані спокою, якщо в деяку мить вантаж В перемістився на відстань l, нехтуючи тертям, визначити, на яку відстань X переміститься призматичне тіло.

Рис. 38

Розв’язання.

В умовах задачі сума проекцій всіх зовнішніх сил на горизонтальну вісь Х дорівнює нулю і тому, за теоремою про рух центра мас системи його швидкість залишається незмінною, тобто V_{с =} V_сх = 0, але незважаючи на стан спокою центра мас, матеріальні тіла системи можуть переміщатися, але тільки так, що сума добутків мас точок на вектори їхніх переміщень дорівнює 0.

Рис. 39

В умовах задачі, що розв’язується, маємо:

Р₂ξ₂ + Р₁ξ₁ + РX = 0,

де ξ₂ і ξ₁ – переміщення тіл А і В вздовж горизонтальної прямої.

У розгорнутому вигляді:

Р₂ (l + X) + Р₁ (lcosα + X) + РX = 0.

Звідси маємо:

X=.

Відповідь: X =.